Câu hỏi:

13/07/2024 3,522

Hình thang ABCD (AB//CD) có DC = 2AB. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh các tứ giác ABPD, MNPQ là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của hình thang ABCD để MNPQ là hình thoi.

c) Gọi E là giao điểm của BD và AP. Chứng minh Q, N, E thẳng hàng.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Hình thang ABCD (AB//CD) có DC = 2AB. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các (ảnh 1)

a) Do DC = 2AB mà P là trung điểm DC nên AB = DP = PC

Tứ giác ABPD có AB // DP và AB = DP nên ABPD là hình bình hành

M, N, P, Q thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA nên ta có:

MQ là đường trung bình trong tam giác ABD nên MQ // BD và MQ = \(\frac{1}{2}\)BD

NP là đường trung bình trong tam giác CBD nên NP // BD và NP = \(\frac{1}{2}\)BD

Suy ra tứ giác MNPQ có NP // MQ và NP = MQ nên MNPQ là hình bình hành.

b) Để MNPQ là hình thoi thì MQ = MN \(\frac{1}{2}\)BD = \(\frac{1}{2}\)AC AC = BD

Suy ra ABCD là hình thang cân thì MNPQ  là hình thoi

c) ABPD là hình bình hành nên E là giao điểm của BD và AP thì E là trung điểm của BD

QE là đường trung bình trong tam giác DAB nên QE // AB

EN là đường trung bình trong tam giác BCD nên EN // DC 

Mà AB // DC nên Q, E, N thẳng hàng.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), cát tuyến MCD với  (ảnh 1)

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

\(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \)

Tứ giác AOBM có \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

A, O, B, M thuộc đường tròn đường kính OM.

AOBM nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Tâm G là trung điểm OM

b. Vì MA là tiếp tuyến của (O)

\(\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Lại có \(\widehat M\)chung.

Do đó, ΔMAC ΔMDA(g.g)

\(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\)

MA2 = MC.MD.

c) Vì I là trung điểm CD  OI CD

OI MI

I thuộc đường tròn đường kính OM

I (G)

M, A, O, I, B (G).

d) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

Nên MA = MB, MO là phân giác \[\widehat {AMB}\]

ΔMAB có MO vừa là phân giác vừa là đường cao.

MO AB

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔAMO đường cao AH có:

MA2 = MH.MO (kết hợp b)

MH.MO = MC.MD

\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

Xét ΔMCH và ΔMOD có:

\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

\(\widehat M\)chung

Do đó, ΔMCH ΔMOD (c.g.c).

\(\widehat {MHC} = \widehat {MDO} = \widehat {CDO}\)

CHOD nội tiếp

e) Gọi CD ∩ AB = F

\(\widehat {AFI} = \widehat {ABE}\) (vì CD // BE và hai góc ở vị trí đồng vị)

Ta có: A, M, B, O, I (G)

\(\widehat {AIC} = \widehat {AIM} = \widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \widehat {AEB}\)

\(\widehat {AIF} = \widehat {AEB}\)

ΔAIF ΔAEB (g.g).

\(\widehat {IAF} = \widehat {EAB} = \widehat {EAF}\)

A, I, E thẳng hàng.

Lời giải

Để đo chiều cao h của cổng parabol của trường ĐHBK Hà Nội, người ta đo khoảng cách giữa (ảnh 1)

AB = 9m

AC = 0,5m

CD = 1,6m

Gọi O là trung điểm của A

Dựng hệ Oxy thỏa mãn A,B thuộc Ox và Oy AB tại O

OB = \(\frac{9}{2}\), OC = \(\frac{9}{2} - 0,5 = 4\)

Cổng là (P) có phương trình dạng y = ax2 + b

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}B = \left( {\frac{9}{2};0} \right) \in \left( P \right)\\D = \left( { - 4;1,6} \right) \in \left( P \right)\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.{\left( {\frac{9}{2}} \right)^2} + b\\1,6 = a.{\left( { - 4} \right)^2} + b\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 32}}{{85}}\\b = \frac{{648}}{{85}}\end{array} \right.\)

Tung độ ứng với hoành độ bằng 0 là y = a.02 + b = \(\frac{{648}}{{85}}\)

Vậy chiều cao của cổng Parabol là \(\frac{{648}}{{85}} \approx 7,6m.\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP