Hình thang ABCD (AB//CD) có DC = 2AB. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh các tứ giác ABPD, MNPQ là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của hình thang ABCD để MNPQ là hình thoi.

c) Gọi E là giao điểm của BD và AP. Chứng minh Q, N, E thẳng hàng.

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \)

Tứ giác AOBM có \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

⇒ A, O, B, M thuộc đường tròn đường kính OM.

⇒ AOBM nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Tâm G là trung điểm OM

b. Vì MA là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Lại có \(\widehat M\)chung.

Do đó, ΔMAC ∽ ΔMDA(g.g)

⇒ \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\)

⇒ MA² = MC.MD.

c) Vì I là trung điểm CD ⇒ OI ⊥ CD

⇒ OI ⊥ MI

⇒ I thuộc đường tròn đường kính OM

⇒ I ∈ (G)

⇒ M, A, O, I, B ∈ (G).

d) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

Nên MA = MB, MO là phân giác \[\widehat {AMB}\]

⇒ ΔMAB có MO vừa là phân giác vừa là đường cao.

⇒ MO ⊥ AB

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔAMO đường cao AH có:

⇒ MA² = MH.MO (kết hợp b)

⇒ MH.MO = MC.MD

⇒ \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

Xét ΔMCH và ΔMOD có:

\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

\(\widehat M\)chung

Do đó, ΔMCH ∽ ΔMOD (c.g.c).

⇒ \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO} = \widehat {CDO}\)

⇒ CHOD nội tiếp

e) Gọi CD ∩ AB = F

⇒ \(\widehat {AFI} = \widehat {ABE}\) (vì CD // BE và hai góc ở vị trí đồng vị)

Ta có: A, M, B, O, I ∈ (G)

⇒ \(\widehat {AIC} = \widehat {AIM} = \widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \widehat {AEB}\)

⇒ \(\widehat {AIF} = \widehat {AEB}\)

⇒ ΔAIF ∽ ΔAEB (g.g).

⇒ \(\widehat {IAF} = \widehat {EAB} = \widehat {EAF}\)

⇒ A, I, E thẳng hàng.