Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ta lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 chữ số đôi một khác nhau?

Xét số tự nhiên có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}{a_9}{a_{10}}} \).

TH1: a₁ có thể bằng 0 hoặc khác 0.

Với a₁ có thể bằng 0 hoặc khác 0, mỗi số có dạng trên là một hoán vị của 10 chữ số đã cho.

Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 1 là:

P₁₀ = 10! (số).

Trường hợp 2: a₁ = 0.

Vì a₁ = 0 cố định nên 9 chữ số sau a₁ đều khác 0 và chỉ có 9 chữ số đó thay đổi.

Suy ra, mỗi số có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}{a_9}{a_{10}}} \) là một hoán vị của 9 chữ số khác 0 đã cho.

Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 2 là:

P₉ = 9! (số).

Vậy số các số tự nhiên có 10 chữ số đôi một khác nhau có thể lập được là:

10! – 9! = 3 265 920 (số).