Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn xy = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=2x+3y+63x+2y.

Q=2x+3y+63x+2y=3x+2yxy+63x+2y =3x+2y6+63x+2y Xét 3x+2y≥23x . 2y=26 . 6=12 (với x, y > 0) Áp dụng BĐT AM - GM với 3x + 2y ≥ 12 ta có: Q=3x+2y6+63x+2y=3x+2y6+243x+2y−183x+2y ≥23x+2y6 . 243x+2y−1812=24−32=52 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 3x=2yxy=6⇔x=2y32y23=6⇔x=2y3y2=9⇔x=2y=3 do y>0 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 52 đạt được khi x = 2, y = 3.

Câu hỏi:

13/07/2024 376

Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn xy = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{3 x + 2 y}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{3 x + 2 y} = \frac{3 x + 2 y}{x y} + \frac{6}{3 x + 2 y}$

$= \frac{3 x + 2 y}{6} + \frac{6}{3 x + 2 y}$

Xét $3 x + 2 y \geq 2 \sqrt{3 x . 2 y} = 2 \sqrt{6 . 6} = 12$ (với x, y > 0)

Áp dụng BĐT AM - GM với 3x + 2y ≥ 12 ta có:

$Q = \frac{3 x + 2 y}{6} + \frac{6}{3 x + 2 y} = \frac{3 x + 2 y}{6} + \frac{24}{3 x + 2 y} - \frac{18}{3 x + 2 y}$

$\geq 2 \sqrt{\frac{3 x + 2 y}{6} . \frac{24}{3 x + 2 y}} - \frac{18}{12} = 2 \sqrt{4} - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\{\begin{cases} 3 x = 2 y \\ x y = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{2 y}{3} \\ \frac{2 y^{2}}{3} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{2 y}{3} \\ y^{2} = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 (d o y > 0) \end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là $\frac{5}{2}$ đạt được khi x = 2, y = 3.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử z₁= a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} |z_{1}| = 2 \\ |z_{2}| = 2 \\ |z_{1} + 2 z_{2}| = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c^{2} + d^{2} = 4 \\ {(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2} = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 (1) \\ c^{2} + d^{2} = 4 (2) \\ a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 16 (3) \end{cases}$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(2 a - c)}^{2} + {(2 b - d)}^{2}}$

$= \sqrt{4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) - 4 (a c + b d)} (5)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{4 . 4 + 4 - 4 . (- 1)} = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 2

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} - \cos x . \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{3})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin (x - \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy GTLN của hàm số bằng 2 khi $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Câu 3