Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD, BC sao cho AMAD=CNCB. Lấy I là trung điểm cạnh MN. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh I luôn chuyển đ...

Đặt AMAD=CNCB=k⇒AM→=k . AD→CN→=k . CB→ với k là hằng số Ta có: EI→=EC→+CN→+NI→=12AC→+CN→+12NM→ =12AD→+DC→+CN→+12NC→+CD→+DM→ =12AD→+12DC→+CN→+12NC→+12CD→+12DM→ =12AD→+12CN→+12DM→ =12AM→+12CN→=k2AD→+CB→ (1) EF→=EC→+CB→+BF→=12AC→+CB→+12BD→ =12AD→+12DC→+CB→+12BC→+12CD→ =12AD→+12CB→=12AD→+CB→ (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: EF→=k . EI→. Suy ra E; F; I thẳng hàng hay I luôn thuộc đường thẳng EF cố định.

Câu hỏi:

19/08/2025 1,062

Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD, BC sao cho $\frac{A M}{A D} = \frac{C N}{C B}$ . Lấy I là trung điểm cạnh MN. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh I luôn chuyển động trên đoạn EF.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $\frac{A M}{A D} = \frac{C N}{C B} = k \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{A M} = k . \vec{A D} \\ \vec{C N} = k . \vec{C B} \end{cases}$ với k là hằng số

Ta có:

$\vec{E I} = \vec{E C} + \vec{C N} + \vec{N I} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \vec{C N} + \frac{1}{2} \vec{N M}$

$= \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{D C}) + \vec{C N} + \frac{1}{2} (\vec{N C} + \vec{C D} + \vec{D M})$

$= \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{D C} + \vec{C N} + \frac{1}{2} \vec{N C} + \frac{1}{2} \vec{C D} + \frac{1}{2} \vec{D M}$

$= \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{C N} + \frac{1}{2} \vec{D M}$

$= \frac{1}{2} \vec{A M} + \frac{1}{2} \vec{C N} = \frac{k}{2} (\vec{A D} + \vec{C B})$ (1)

$\vec{E F} = \vec{E C} + \vec{C B} + \vec{B F} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \vec{C B} + \frac{1}{2} \vec{B D}$

$= \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{D C} + \vec{C B} + \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{C D}$

$= \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{C B} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{C B})$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\vec{E F} = k . \vec{E I}$ .

Suy ra E; F; I thẳng hàng hay I luôn thuộc đường thẳng EF cố định.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2}$ và g (x) = dx² + ex + 1 (a, b, c, d, e Î ℝ). Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là:

$a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2} = d x^{2} + e x + 1$

$\Leftrightarrow a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2} = 0 (*)$

Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm là −3; −1; 1.

Ta được $a (x + 3) (x + 1) (x - 1) = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow a (x + 3) (x^{2} - 1) = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow a x^{3} + 3 a x^{2} - a x - 3 a = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

Đồng nhất hai vế ta suy ra:

$\{\begin{cases} 3 a = b - d \\ - a = c - e \\ - 3 a = - \frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b - d = \frac{3}{2} \\ c - e = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) d x + \int_{- 1}^{1} (- \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) d x$

$= {(\frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2})|}_{- 3}^{- 1} + {(- \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2})|}_{- 1}^{1}$

$= \frac{{(- 1)}^{4}}{8} + \frac{{(- 1)}^{3}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 . (- 1)}{2} - \frac{{(- 3)}^{4}}{8} - \frac{{(- 3)}^{3}}{2} + \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{3 . (- 3)}{2}$

$- \frac{1^{4}}{8} - \frac{1^{3}}{2} + \frac{1^{2}}{4} + \frac{3 . 1}{2} + \frac{{(- 1)}^{4}}{8} + \frac{{(- 1)}^{3}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 . (- 1)}{2}$

$= \frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{81}{8} + \frac{27}{2} + \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2}$ = 4.

Câu 2

Cho hai hàm số f (x) = ax³ + bx² + cx − 2 và g (x) = dx² + ex + 2 (a, b, c, d, e Î ℝ). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là:

ax³ + bx² + cx − 2 = dx² + ex + 2

Û ax³ + (b − d)x² + (c − e)x − 4 = 0 (1)

Vì phương trình (1) có các nghiệm −2; −1; 1 nên:

$\{\begin{cases} a . {(- 2)}^{3} + (b - d) . {(- 2)}^{2} + (c - e) . (- 2) - 4 = 0 \\ a . {(- 1)}^{3} + (b - d) . {(- 1)}^{2} + (c - e) . (- 1) - 4 = 0 \\ a . 1^{3} + (b - d) . 1^{2} + (c - e) . 1 - 4 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 8 a + 4 (b - d) - 2 (c - e) - 4 = 0 \\ - a + (b - d) - (c - e) - 4 = 0 \\ a + (b - d) + (c - e) - 4 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a - 3 (b - d) + 6 = 0 \\ 2 (b - d) - 8 = 0 \\ a + (b - d) + (c - e) - 4 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b - d - 2 \\ b - d = 4 \\ a + (b - d) + (c - e) = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b - d = 4 \\ c - e = 4 - a - (b - d) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b - d = 4 \\ c - e = - 2 \end{cases}$

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{- 2}^{- 1} [f (x) - g (x)] d x + \int_{- 1}^{1} [g (x) - f (x)] d x$

$= \int_{- 2}^{- 1} [a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - 4] d x + \int_{- 1}^{1} [- a x^{3} - (b - d) x^{2} - (c - e) x + 4] d x$

$= \int_{- 2}^{- 1} [2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4] d x + \int_{- 1}^{1} [- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4] d x$

$= {(\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x)|}_{- 2}^{- 1} + {(- \frac{x^{4}}{2} - \frac{4 x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x)|}_{- 1}^{1}$

$= \frac{{(- 1)}^{4}}{2} + \frac{4 . {(- 1)}^{3}}{3} - {(- 1)}^{2} - 4 . (- 1) - \frac{{(- 2)}^{4}}{2} - \frac{4 . {(- 2)}^{3}}{3} + {(- 2)}^{2} - 4 . (- 2)$

$- \frac{1^{4}}{2} - \frac{4 . 1^{3}}{3} + 1^{2} + 4 . 1 + \frac{{(- 1)}^{4}}{2} + \frac{4 . {(- 1)}^{3}}{3} - {(- 1)}^{2} - 4 . (- 1)$

$= \frac{1}{2} - \frac{4}{3} - 1 + 4 - 8 + \frac{32}{3} + 4 + 8 - \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + 1 + 4 + \frac{1}{2} - \frac{4}{3} - 1 + 4$

$= \frac{37}{6}$

Câu 3