Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm lần lượt là bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

+ Gọi x (x ≥ 0)  là số kg loại I cần sản xuất, y (y ≥ 0) là số kg loại II cần sản xuất.

Suy ra số nguyên liệu cần dùng là 2x + 4y, thời gian là 30x + 15y có mức lời là 40 000x + 30 000y

Theo giả thiết bài toán xưởng có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc suy ra

2x + 4y ≤  200 hay x + 2y – 100 ≤  0 ; 30x + 15y ≤ 1200 hay 2x+ y – 80 ≤ 0

+ Tìm x; y thoả mãn hệ $\left\{\begin{array}{l}x+2y-100\le 0\\ 2x+y-80\le 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$  (*)

sao cho L(x; y) = 40 000x + 30 000y đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng (d): x + 2y – 100= 0 và (d’) : 2x + y – 80 = 0

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tứ giác) không tô màu trên hình vẽ

Giá trị lớn nhất của L( x; y)  đạt tại một trong các điểm (0; 0) ; (40; 0) ; (0; 50) ; (20; 40)

+ Ta có L(0; 0) = 0; L( 40; 0) = 1 600 000;

L(0; 50) = 1 500 000; L(20; 40) =  2 000 000

Suy ra giá trị lớn nhất của L(x; y)  là 2 000 000 khi (x; y) = (20; 40).

Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn nhất.