Cho điểm M nằm ngoài đường tròn ( O; R ) sao cho OM = 2R. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn O (A, B là các tiếp điểm ). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của AB và OM.

a) Chứng minh 4 điểm : O, A, B, M cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Tính tỉ số $\frac{OH}{OM}$ .

c) Gọi E là giao điểm của CM và đường tròn (O). Chứng minh HE vuông góc với BE.

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

⇒ MA ⊥ OA ⇒ $\widehat{MAO}$ = 90°

⇒ MB ⊥ OB ⇒ $\widehat{MBO}$  = 90°

$\widehat{MAO}+\widehat{MBO}$= 90° + 90° = 180°

⇒ OAMB là tứ giác nội tiếp

⇒ O, A, B, M cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)

b) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) kẻ từ M 

⇒ M cách đều A, B mà O cách đều A, B

⇒ MO là trung trực của AB

⇒ MO ⊥ AB tại H , H là trung điểm AB

Tam giác OAM vuông tại A có đường cao AH

Suy ra: OA² = OH.OM

⇒ OH = $\frac{R^2}{2R}=\frac{R}{2}$

⇒ $\frac{OH}{OM}=\frac{\frac{R}{2}}{2R}=\frac{1}{4}$

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MAO vuông có: MA² = MH.MO (1)

MA là tiếp tuyến nên: $\widehat{MAE}=\widehat{MCA}$  (cùng chắn cung AE)

Xét ∆MAE và ∆MCA có: $\widehat{MAE}=\widehat{MCA}$

$\widehat{AMC}$ chung

Suy ra: ∆MAE ~ ∆MCA (g.g)

⇒ $\frac{MA}{ME}=\frac{MC}{MA}$ hay MA² = MC.ME (2)

Từ (1) và (2): MC.ME = MH.MO

⇒ $\frac{MH}{ME}=\frac{MC}{MO}$

Xét ∆MHE và ∆MCO có:

$\widehat{OMC}$ chung

$\frac{MH}{ME}=\frac{MC}{MO}$

⇒ ∆MHE ~ ∆MCO (c.g.c)

⇒ $\widehat{MHE}=\widehat{MOC}$

⇒ 180° – $\widehat{MHE}$  = 180° – $\widehat{MOC}$  hay $\widehat{HEC}=\widehat{AOM}$

Lại có: BEAC là tứ giác nội tiếp (O) do 4 điểm đều nằm trên đường tròn nên $\widehat{BEC}=\widehat{BAC}$  (cùng nhìn cạnh BC)

Lại có theo phần a: OBMA là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{OMB}=\widehat{BAO}$ ; $\widehat{ABO}=\widehat{OMA}$

Suy ra: $\widehat{BEC}=\widehat{OMB}$

Lại có: $\widehat{ABO}=\widehat{OMB}$ (Cùng phụ với $\widehat{MBA}$ )

Mà $\widehat{ABO}=\widehat{OMA}$

Suy ra:  $\widehat{BEC}=\widehat{OMA}$

$\widehat{HEB}=\widehat{HEC}+\widehat{BEC}=\widehat{AOM}+\widehat{OMA}$

= 90°

Vậy HE vuông góc với BE.