Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x+4};$                                         b)$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+1}{{\left(2x+1\right)}^2};$

c)     $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x+1}{\sqrt{x^2-2x}};$                                d)$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\sqrt{x^2+2x}\right).$

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3$  và $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)+2g\left(x\right)\right]=7.$

Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2f\left(x\right)+g\left(x\right)}{2f\left(x\right)-g\left(x\right)}.$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x+\mathrm{1,}x\le 1\\ \sqrt{x^2+a},x>1.\end{array}\right.$

Tìm giá trị của tham số a sao cho tồn tại giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right).$

Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(t, t²), t > 0, nằm trên đường parabol y = x². Đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N. Điểm N dần đến điểm nào khi điểm M dần đến điểm O?

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3x+\mathrm{4,}x\le -1\\ 3-2x^2,x>-1\end{array}\right..$

Tìm các giới hạn $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right),\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$  và $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right).$

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=2$  và $\underset{x\to 4}{\lim }g\left(x\right)=-3.$Tìm các giới hạn:

Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.