Khi mua máy điều hòa, bác An được hướng dẫn rằng mỗi mét khối của phòng cần công suất điều hòa 200 BTU. Căn phòng bác An cần lắp máy có dạng hình hộp chữ nhật, rộng 4m, dài 5m và cao 3m. Hỏi bác An cần mua loại điều hòa có công suất bao nhiêu BTU?

Sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D'.

Ta có S₁ = S_ABCD = 60² = 3 600(cm²), S₂ = S_A'B'C'D' = 30² = 900 (cm²).

Kẻ D'H ^ BD tại H.

Gọi O và O' lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A'B'C'D'.

Vì OO' ^ (ABCD) nên OO' ^ OH, OO' ^ (A'B'C'D') nên OO' ^ B'D'.

Do đó OHD'O' là hình chữ nhật, suy ra O'D' = OH, OO' = HD'.

Xét tam giác B'C'D' vuông tại C', có

$B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}=\sqrt{B^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2+C^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^2}=\sqrt{{30}^2+{30}^2}=30\sqrt{2}$ (cm).

Vì O' là trung điểm của B'D' nên $D^{\text{'}}{O}^{\text{'}}=\frac{D^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{2}=15\sqrt{2}$  (cm).

Xét tam giác BCD vuông tại C, có

$BD=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{{60}^2+{60}^2}=60\sqrt{2}$ (cm).

Mà O là trung điểm của BD nên $DO=\frac{DB}{2}=30\sqrt{2}$  (cm).

Có HD = DO – OH =  (cm).

Xét tam giác DHD' vuông tại H, có

$D^{\text{'}}H=\sqrt{{}^2-H{D}^2}=\sqrt{{50}^2-{\left(15\sqrt{2}\right)}^2}=5\sqrt{82}$ (cm).

Do đó $5\sqrt{82}$   (cm).

$V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}D}=\frac{1}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1\cdot S_2}\right)\cdot$

$=\frac{1}{3}\left(3600+900+\sqrt{3600\cdot 900}\right)\cdot 5\sqrt{82}=10500\sqrt{82}$(cm³).

Vì hình chóp A'.ABC có A'A = A'B = A'C, ABC là tam giác đều nên hình chóp A'.ABC là hình chóp đều.

Gọi F là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC), khi đó F là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó A'F ^ (ABC) hay A'F là đường cao của hình lăng trụ ABC.A'B'C'.

Giả sử AF Ç CB tại D, suy ra D là trung điểm của BC, AD ^ BC.

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, đường cao AD nên $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  và $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Có $AF=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Xét tam giác A'FA vuông tại F, có

$A^{\text{'}}F=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2-A{F}^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{3b^2-a^2}{3}}$.

Khi đó $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{ABC}\cdot A^{\text{'}}F=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{\frac{3b^2-a^2}{3}}=\frac{a^2\sqrt{3b^2-a^2}}{4}$  .