Cho x, y là các số thực dương và số thực a thỏa mãn: a=x2+x4y23+y2+x2y43. Chứng minh rằng: a23=x23+y23.

Với x, y > 0 ta có: a=x2+x4y23+y2+x2y43=x2+x4y213+y2+x2y413=x2+x43y23+y2+x23y43=x63+x43y2312+y63+x23y4312=x23x43+x43y2312+y23y43+x23y4312 =x43.x23+y2312+y43.y23+x2312 =x43.12.x23+y2312+y43.12.x23+y2312 =x23.x23+y2312+y23.x23+y2312 =x23+y2312.x23+y23=x23+y2312+1=x23+y2332. Suy ra: a23=x23+y233223=x23+y2332.23=x23+y23.

Câu hỏi:

12/07/2024 3,058

Cho x, y là các số thực dương và số thực a thỏa mãn: $a = \sqrt{x^{2} + \sqrt[3]{x^{4} y^{2}}} + \sqrt{y^{2} + \sqrt[3]{x^{2} y^{4}}} .$ Chứng minh rằng: $a^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Bài 1: Phép lũy thừa với số mũ thực có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Với x, y > 0 ta có:

a = \sqrt{x^{2} + \sqrt[3]{x^{4} y^{2}}} + \sqrt{y^{2} + \sqrt[3]{x^{2} y^{4}}}

= \sqrt{x^{2} + {(x^{4} y^{2})}^{\frac{1}{3}}} + \sqrt{y^{2} + {(x^{2} y^{4})}^{\frac{1}{3}}}

= \sqrt{x^{2} + x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{2}{3}}} + \sqrt{y^{2} + x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{4}{3}}}

= {(x^{\frac{6}{3}} + x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} + {(y^{\frac{6}{3}} + x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{4}{3}})}^{\frac{1}{2}}

= {(x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} + {(y^{\frac{2}{3}} y^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{4}{3}})}^{\frac{1}{2}}

= {[x^{\frac{4}{3}} . (x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})]}^{\frac{1}{2}} + {[y^{\frac{4}{3}} . (y^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}})]}^{\frac{1}{2}}

= x^{\frac{4}{3} . \frac{1}{2}} . {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{4}{3} . \frac{1}{2}} . {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}

= x^{\frac{2}{3}} . {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{2}{3}} . {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}

= {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} . (x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})

= {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2} + 1} = {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} .

Suy ra:

a^{\frac{2}{3}} = {[{(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}]}^{\frac{2}{3}} = {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} . \frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chất phóng xạ có chu kì bán rã là 25 năm, tức là cứ sau 25 năm, khối lượng của chất phóng xạ đó giảm đi một nửa. Giả sử lúc đầu có 10 g chất phóng xạ đó. Viết công thức tính khối lượng của chất đó còn lại sau t năm và tính khối lượng của chất đó còn lại sau 120 năm (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn theo đơn vị gam).

Xem đáp án

Lời giải

Chất phóng xạ có chu kì bán rã là T = 25 (năm).

Cứ sau 25 năm, khối lượng của chất phóng xạ đó giảm đi một nửa

Suy ra khối lượng của chất đó còn lại sau t năm là: $m = 10. {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{25}}$ (g).

Khối lượng của chất đó còn lại sau 120 năm là: $m = 10. {(\frac{1}{2})}^{\frac{120}{25}} \approx 0, 359$ (g).

Câu 2

Cho a > 0, b > 0. Rút gọn mỗi biểu thức sau:
a) $A = \frac{{(\sqrt[4]{a^{3} b^{2}})}^{4}}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^{6}}}};$

b) $B = \frac{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} .$

Xem đáp án

Lời giải

A = \frac{{(\sqrt[4]{a^{3} b^{2}})}^{4}}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^{6}}}} = \frac{{[{(a^{3} b^{2})}^{\frac{1}{4}}]}^{4}}{\sqrt[3]{{(a^{12} b^{6})}^{\frac{1}{2}}}} = \frac{{(a^{3} b^{2})}^{\frac{1}{4} .4}}{\sqrt[3]{a^{6} b^{3}}}

= \frac{a^{3} b^{2}}{{(a^{6} b^{3})}^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{3} b^{2}}{a^{6 \cdot \frac{1}{3}} b^{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{a^{3} b^{2}}{a^{2} b^{1}} = a b .

B = \frac{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}

= \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} (b^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{6}})}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a b} .

Câu 3

Xác định các giá trị của số thực a thỏa mãn:
a) $a^{\frac{1}{2}} > a^{\sqrt{3}};$

b) $a^{- \frac{3}{2}} < a^{\frac{2}{3}};$

c) ${(\sqrt{2})}^{a} > {(\sqrt{3})}^{a} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Điều kiện xác định của $x^{\sqrt{2}}$ là:

A. x ∈ ℝ;

B. x ≠ 0;

C. x ≥ 0;

D. x > 0.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Nếu ${(2 - \sqrt{3})}^{a - 1} < 2 + \sqrt{3}$ thì:

A. a > 0;

B. a > 1;

C. a < 1;

D. a < 0.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh hai số a và b, biết:
a) $a = {(\sqrt{3} - 1)}^{\sqrt{2}}$ và $b = {(\sqrt{3} - 1)}^{\sqrt{3}};$
b) $a = {(\sqrt{2} - 1)}^{π}$ và $b = {(\sqrt{2} + 1)}^{e};$
c) $a = \frac{1}{3^{400}}$ và $b = \frac{1}{4^{300}};$
d) $a = \frac{8}{\sqrt[4]{27}}$ và $b = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{\frac{3}{4}} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho x, y là các số thực dương và số thực a thỏa mãn: a=x2+x4y23+y2+x2y43. Chứng minh rằng: a23=x23+y23.

Bình luận

Cho a > 0, b > 0. Rút gọn mỗi biểu thức sau:a) A=a3b244a12b63; b) B=a13b+b13aa6+b6.

Xác định các giá trị của số thực a thỏa mãn:a) a12>a3; b) a−32<a23; c) 2a>3a.

Điều kiện xác định của x2 là: A. x ∈ ℝ; B. x ≠ 0; C. x ≥ 0; D. x > 0.

Nếu 2−3a−1<2+3 thì: A. a > 0; B. a > 1; C. a < 1; D. a < 0.

Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh hai số a và b, biết:a) a=3−12 và b=3−13;b) a=2−1πvà b=2+1e;c) a=13400 và b=14300;d) a=8274 và b=3234.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x, y là các số thực dương và số thực a thỏa mãn: $a = \sqrt{x^{2} + \sqrt[3]{x^{4} y^{2}}} + \sqrt{y^{2} + \sqrt[3]{x^{2} y^{4}}} .$ Chứng minh rằng: $a^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} .$

Cho a > 0, b > 0. Rút gọn mỗi biểu thức sau:
a) $A = \frac{{(\sqrt[4]{a^{3} b^{2}})}^{4}}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^{6}}}};$

b) $B = \frac{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} .$

Xác định các giá trị của số thực a thỏa mãn:
a) $a^{\frac{1}{2}} > a^{\sqrt{3}};$

b) $a^{- \frac{3}{2}} < a^{\frac{2}{3}};$

c) ${(\sqrt{2})}^{a} > {(\sqrt{3})}^{a} .$

Điều kiện xác định của $x^{\sqrt{2}}$ là:

A. x ∈ ℝ;

B. x ≠ 0;

C. x ≥ 0;

D. x > 0.

Nếu ${(2 - \sqrt{3})}^{a - 1} < 2 + \sqrt{3}$ thì:

A. a > 0;

B. a > 1;

C. a < 1;

D. a < 0.