Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương khác 1 và log_xa, log_yb, log_zc theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng: ${\log }_{b}y=\frac{2{\log }_{a}x\cdot {\log }_{c}z}{{\log }_{a}x+{\log }_{c}z}.$

Cho log_ab = 4. Tính:

a)  ${\log }_a\left(a^{\frac{1}{2}}{b}^5\right);$

b)  ${\log }_a\left(\frac{a\sqrt{b}}{b\sqrt[3]{a}}\right);$

c) ${\log }_a\left(\frac{a\sqrt{b}}{b\sqrt[3]{a}}\right);$        

d) ${\log }_{a\sqrt[3]{b}}\left(\sqrt[4]{a\sqrt{b}}\right).$

a) Cho log₂3 = a. Tính log₁₈72 theo a.

b*) Cho log2 = a. Tính log₂₀50 theo a.

Cho a > 0, a ≠ 1 và b > 0. Mệnh đề đúng là:

A.  ${\log }_{a^2}\left(ab\right)=\frac{1}{2}{\log }_{a}b;$

B.  ${\log }_{a^2}\left(ab\right)=2+2{\log }_{a}b;$

C.  ${\log }_{a^2}\left(ab\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}{\log }_{a}b;$

D.  ${\log }_{a^2}\left(ab\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\log }_{a}b.$

Để tính độ tuổi của mẫu vật bằng gỗ, người ta đo độ phóng xạ  ${}_6{}^{14}C$ có trong mẫu vật tại thời điểm t (năm) (so với thời điểm ban đầu t = 0), sau đó sử dụng công thức tính độ phóng xạ  $H=H_0{e}^{-\lambda t}$ (đơn vị là Becquerel, kí hiệu Bq) với H₀ là độ phóng xa ban đầu (tại thời điểm t = 0);  $\lambda =\frac{\ln 2}{T}$ là hằng số phóng xạ, T = 5 730 (năm) (Nguồn: Vật lí 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2014). Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ là 0,215 Bq. Biết độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là 0,250 Bq. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Tính:

a)  $A=\frac{{25}^{{\log }_{5}6}+{49}^{{\log }_{7}8}-3}{3^{1+{\log }_{9}4}+4^{2-{\log }_{2}3}+5^{{\log }_{125}27}};$

b)  $B=\frac{{36}^{{\log }_{6}5}+{10}^{1-\log 2}-3^{{\log }_{9}36}}{{\log }_2\left({\log }_2\sqrt{\sqrt[4]{2}}\right)};$

c)  $C={\log }_{\frac{1}{4}}\left({\log }_{3}4\cdot {\log }_{2}3\right);$

d) D = log₄ 2 . log₆ 4 . log₈ 6.

Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a² + b² = 7ab. Khi đó, log(a+b) bằng:

A. $\log 9+\frac{1}{2}\left(\log a+\log b\right);$

B. $\log 3+\frac{1}{2}\log a\cdot \log b;$

C. $\log 3+\frac{1}{2}\log a+\log b;$

D.$\log 3+\frac{1}{2}\left(\log a+\log b\right).$