Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x. Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x)3 – x3 = x3 + 3x2∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 – x3 = 3x2∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 = ∆x[3x2 + 3x∆x + (∆x)2] Suy ra ΔyΔx=Δx3x2+3xΔx+Δx2Δx=3x2+3xΔx+Δx2. ⦁ Ta thấy limΔx→0ΔyΔx=limΔx→03x2+3x⋅Δx+Δx2=3x2+3Δx⋅0+02=3x2. Vậy f’(x) = 3x2.

Câu hỏi:

12/07/2024 4,975

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 CD Bài 1. Định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x)³ – x³

= x³ + 3x²∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³ – x³

= 3x²∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³

= ∆x[3x² + 3x∆x + (∆x)²]

Suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ x [3 x^{2} + 3 x Δ x + {(Δ x)}^{2}]}{Δ x} = 3 x^{2} + 3 x Δ x + {(Δ x)}^{2} .$

⦁ Ta thấy $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} [3 x^{2} + 3 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}] = 3 x^{2} + 3 Δ x \cdot 0 + 0^{2} = 3 x^{2} .$

Vậy f’(x) = 3x².

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm y = –2x² + x có đồ thị (C).

a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

Xem đáp án

Lời giải

a) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là:

$f^{'} (2) = \lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{- 2 x^{2} + x - (- 2 \cdot 2^{2} + 2)}{x - 2}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{- 2 x^{2} + x + 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{- (x - 2) (2 x + 3)}{x - 2}$

$= \lim_{x \to 2} [- (2 x + 3)] = - (2 \cdot 2 + 3) = - 7.$

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 là f’(x) = –7.

Câu 2

Giả sử chi phí C (USD) để sản xuất Q máy vô tuyến là C(Q) = Q² + 80Q + 3 500.

a) Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ Q sản phẩm lên Q + 1 sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số C’(Q). Tìm hàm chi phí biên.

Xem đáp án

Lời giải

a) Xét ∆Q là số gia của biến số tại điểm Q.

Ta có ∆C = C(Q + ∆Q) – C(Q)

= (Q + ∆Q)² + 80(Q + ∆Q) + 3 500 – Q² – 80Q – 3 500

= (∆Q)² + 2Q. ∆Q + 80∆Q.

= ∆Q(∆Q + 2Q + 80).

Suy ra $\frac{Δ C}{Δ Q} = \frac{Δ Q (Δ Q + 2 Q + 80)}{Δ Q} = Δ Q + 2 Q + 80.$

Ta thấy $\lim_{Δ Q \to 0} \frac{Δ C}{Δ Q} = \lim_{Δ Q \to 0} (Δ Q + 2 Q + 80) = 2 Q + 80.$

Vậy hàm chi phí biên là: C’(Q) = 2Q + 80 (USD).

Câu 3

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x³ – 1 tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tính đạo hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x}$ tại x₀ = 2 bằng định nghĩa.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ tại điểm N(1; 1).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Cho hàm y = –2x² + x có đồ thị (C).

a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x³ – 1 tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa.

Tính đạo hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x}$ tại x₀ = 2 bằng định nghĩa.

Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ tại điểm N(1; 1).