Đại lượng biểu thị tốc độ nhanh chậm của chuyển động tại một thời điểm là v(x₀), là đạo hàm của hàm số theo thời gian biểu thị quỹ đạo chuyển động của tên lửa.

Câu 2/13

Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm x₀ =1 (s) trong bài toán tìm vận tốc tức thời nêu ở trên.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có vận tốc tức thời tại thời điểm x₀ của viên bi là $v (x_{0}) = \lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}$ với $f (x) = \frac{1}{2} g x^{2} .$

Vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm x₀ =1 (s) là:

$v (x_{0}) = v (1) = \lim_{x_{1} \to 1} \frac{f (x_{1}) - f (1)}{x_{1} - 1} = \lim_{x_{1} \to 1} \frac{\frac{1}{2} g x_{1}^{2} - \frac{1}{2} g \cdot 1^{2}}{x_{1} - 1}$

$= \lim_{x_{1} \to 1} \frac{\frac{1}{2} g (x_{1}^{2} - 1)}{x_{1} - 1} = \lim_{x_{1} \to 1} \frac{\frac{1}{2} g (x_{1} - 1) (x_{1} + 1)}{x_{1} - 1}$

$= \lim_{x_{1} \to 1} \frac{1}{2} g (x_{1} + 1) = \frac{1}{2} g (1 + 1) = g \approx 9, 8$ (m/s).

Câu 3/13

Tính đạo hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x}$ tại x₀ = 2 bằng định nghĩa.

Xem đáp án

Lời giải

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có: $Δ y = f (2 + Δ x) - f (2) = \frac{1}{2 + Δ x} - \frac{1}{2}$

$= \frac{2}{2 \cdot (2 + Δ x)} - \frac{2 + Δ x}{2 \cdot (2 + Δ x)} = \frac{- Δ x}{2 \cdot (2 + Δ x)}$

Suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{\frac{- Δ x}{2 (2 + Δ x)}}{Δ x} = - \frac{1}{2 (2 + Δ x)}$

⦁ Ta thấy $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{2 (2 + Δ x)} = \frac{- 1}{2 (2 + 0)} = \frac{- 1}{4} .$

Vậy $f^{'} (2) = \frac{- 1}{4} .$

Câu 4/13

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Xem đáp án

Lời giải

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x)³ – x³

= x³ + 3x²∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³ – x³

= 3x²∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³

= ∆x[3x² + 3x∆x + (∆x)²]

Suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ x [3 x^{2} + 3 x Δ x + {(Δ x)}^{2}]}{Δ x} = 3 x^{2} + 3 x Δ x + {(Δ x)}^{2} .$

⦁ Ta thấy $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} [3 x^{2} + 3 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}] = 3 x^{2} + 3 Δ x \cdot 0 + 0^{2} = 3 x^{2} .$

Vậy f’(x) = 3x².

Câu 5/13

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), một điểm M₀ cố định thuộc (C) có hoành độ x₀. Với mỗi điểm M thuộc (C) khác M₀, kí hiệu x_M là hoành độ của điểm M và k_M là hệ số góc của cát tuyến M₀M. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn $k_{0} = \lim_{x_{M} \to x_{0}} k_{M} .$ Khi đó, ta coi đường thẳng M₀T đi qua M₀ và có hệ số góc k₀ là vị trí giới hạn của cát tuyến M₀M khi điểm M di chuyển dọc theo (C) dần tới M₀.

Đường thẳng M₀T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀, còn M₀ được gọi là tiếp điểm (Hình 3).

a) Xác định hệ số góc k₀ của tiếp tuyến M₀T theo x₀.

Xem đáp án

Lời giải

a) Từ M₀(x₀; y₀) và M(x_M; y_M) ta có $\vec{M_{0} M} = (x_{M} - x_{0}; y_{M} - y_{0})$

Đường cát tuyến M₀M nhận $\vec{M_{0} M} = (x_{M} - x_{0}; y_{M} - y_{0})$ làm vectơ chỉ phương nên có hệ số góc là $k_{M} = \frac{y_{M} - y_{0}}{x_{M} - x_{0}} = \frac{f (x_{M}) - f (x_{0})}{x_{M} - x_{0}}$

Khi đó $k_{0} = \lim_{x_{M} \to x_{0}} k_{M} = \lim_{x_{M} \to x_{0}} \frac{f (x_{M}) - f (x_{0})}{x_{M} - x_{0}} = f^{'} (x_{0}) .$

Vậy k₀ = f’(x₀).

Câu 6/13

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 7/13 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm x₀ =1 (s) trong bài toán tìm vận tốc tức thời nêu ở trên.