Bằng cách sử dụng kết quả limx→0ex−1x=1, tính đạo hàm của hàm số y = ex tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì. Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = ex + ∆x – ex. Suy ra limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0ex+Δx–exΔx=limΔx→0exeΔx−1Δx=exlimΔx→0eΔx−1Δx=ex⋅1=ex. Vậy đạo hàm của hàm số y = ex tại điểm x bất kì là y' = ex.

Câu hỏi:

12/07/2024 2,402

Bằng cách sử dụng kết quả $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1,$ tính đạo hàm của hàm số y = e^x tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 CD Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = e^{x + ∆x} – e^x.

Suy ra $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{x + Δ x} - e^{x}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{x} (e^{Δ x} - 1)}{Δ x} = e^{x} \lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{Δ x} - 1}{Δ x} = e^{x} \cdot 1 = e^{x} .$

Vậy đạo hàm của hàm số y = e^x tại điểm x bất kì là y' = e^x.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một viên đạn được bắn từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v₀ = 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm mà tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét (lấy g = 9,8 m/s²)?

Xem đáp án

Lời giải

Chọn gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên.

Phương trình chuyển động của viên đạn là:

$y (t) = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} (g = 9, 8 m / s^{2}) .$

Vận tốc tại thời điểm t là: v = y'(t) = v₀ – gt (m/s).

Do đó để v = 0 thì v₀ – gt = 0

Suy ra $t = \frac{v_{0}}{g} = \frac{196}{9, 8} = 20 (s) .$

Khi đó, viên đạn cách mặt đất một khoảng là: $y (20) = 196 \cdot 20 - \frac{1}{2} \cdot 9, 8 \cdot 20^{2} = 1960 (m) .$

Câu 2

Tính đạo hàm của hàm số $f (x) = x \sqrt{x}$ tại điểm x dương bất kì.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $f^{'} (x) = {(x \sqrt{x})}^{'} = {(x)}^{'} \cdot \sqrt{x} + x \cdot {(\sqrt{x})}^{'}$

$= 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{3 \sqrt{x}}{2}$ (x > 0).

Câu 3

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 4 tại điểm có hoành độ x₀= 2;

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho mạch điện như Hình 5. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q₀. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = Q₀sinωt, trong đó ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức I(t) = q'(t). Cho biết Q₀= 10^–8 (C) và ω = 10⁶π (rad/s). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) (tính chính xác đến 10^–5 mA).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = 4x³ – 3x² + 2x + 10;

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = e^{3x + 1};

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Chứng minh rằng (u . v . w)' = u' . v . w + u . v' . w + u . v . w'.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Bằng cách sử dụng kết quả $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1,$ tính đạo hàm của hàm số y = e^x tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Tính đạo hàm của hàm số $f (x) = x \sqrt{x}$ tại điểm x dương bất kì.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 4 tại điểm có hoành độ x₀= 2;

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = 4x³ – 3x² + 2x + 10;

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = e^{3x + 1};

Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Chứng minh rằng (u . v . w)' = u' . v . w + u . v' . w + u . v . w'.