Cho tam giác ABC có điểm M trên cạnh BC sao cho BC = 4CM. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho $\frac{\text{CN}}{\text{AN}}=\frac{1}{3}$  . Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về mối quan hệ giữa hai đường thẳng AB và MN.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác OAB có DE // AB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{OE}}{\text{OB}}=\frac{\text{OD}}{\text{OA}}$ (1)

Xét tam giác OAC có DF // AC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{OF}}{\text{OC}}=\frac{\text{OD}}{\text{OA}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $\frac{\text{OE}}{\text{OB}}=\frac{\text{OF}}{\text{OC}}=\frac{\text{OD}}{\text{OA}}$.

Trong tam giác OBC có $\frac{\text{OE}}{\text{OB}}=\frac{\text{OF}}{\text{OC}}$   nên EF // BC (định lí Thalès đảo).

Vậy A sai.

Đáp án đúng là: C

Có DE ⊥ DC nên DE ⊥ BC (D ∈ BC).

Vì AH ⊥ BC nên AH // DE.

Lại có DK ⊥ AC , AB ⊥ AC nên DK // AB.

Xét tam giác ABC có DK // AB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{CD}}{\text{CB}}=\frac{\text{CK}}{\text{CA}}$(1)

Xét tam giác AHC có DE // AH nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{CD}}{\text{CH}}=\frac{\text{CE}}{\text{CA}}$(2)

Chia theo vế (1) cho (2) ta được:

$\frac{\text{CD}}{\text{CB}}:\frac{\text{CD}}{\text{CH}}=\frac{\text{CK}}{\text{CA}}:\frac{\text{CE}}{\text{CA}}$

Suy ra $\frac{\text{CH}}{\text{CB}}=\frac{\text{CK}}{\text{CE}}$ .

Trong tam giác CEB có $\frac{\text{CH}}{\text{CB}}=\frac{\text{CK}}{\text{CE}}$   nên HK // BE (định lí Thaslès đảo).