Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH (H ∈ BC). 1) Cho AH = 6; BH = 3. Tính BC và số đo ABC^ (góc làm tròn đến phút). 2) Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia CA tại K. Hạ AE ⊥ BK (E ∈ BK...

1) Áp dụng hệ thức lượng giác vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH AH² = BH.HC ⇒ 6²= 3. HC ⇒ HC = 6² : 3= 12cm Ta có : BC = BH + HC = 3 + 12 =15 cm 1AH2=1AB2+1AC2⇒AC=65AB=AH2+BH2=32+62=35 Xét tam giác BAC vuông tại A có: sinABC^=ACBC=6515=255⇒ABC^=63° 2) Xét tam giác BAK và tam giác CAB có: BAK^=BAC^=90° BKA^=ABC^ (cùng phụ với KBA^) Suy ra: ∆BAK ∽ ∆CAB (g.g) ⇒ BAAC=AKAB⇒AB2=AK.AC Lại có: ABHE là hình chữ nhật vì H^=B^=E^=90° nên AB = HE Suy ra: EH2 = AK.AC (1) Xét tam giác BEA và tam giác AEK có: BEA^=AEK^=90°ABE^=KAE^=90°−EAB^ Suy ra: ∆BEA ∽ ∆AEK (g.g) ⇒ BEAE=AEEK⇒ BE.EK = AE2 Xét tam giác BHA và tam giác AHC có: BHA^=CHA^=90°ABH^=CAH^=90°−ACH^ Suy ra: ∆BHA ∽ ∆AHC (g.g) ⇒ BHAH=AHHC ⇒ AH2 = BH.HC ⇒ BH.HC + BE.EK = AE2 + AH2 = EH2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: BH.HC + BE.EK = AK.AC.

Câu hỏi:

12/07/2024 2,045

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH (H ∈ BC).

1) Cho AH = 6; BH = 3. Tính BC và số đo $\hat{A B C}$ (góc làm tròn đến phút).

2) Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia CA tại K. Hạ AE ⊥ BK (E ∈ BK). Chứng minh rằng: AK.AC = EH², từ đó suy ra BH.HC + BE.EK = AK.AC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH (H ∈ BC). 1) Cho AH = 6; BH = 3. Tính BC và số đo (góc làm tròn đến phút). 2) Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia CA tại K. Hạ AE ⊥ BK (E ∈ BK). Chứng minh rằng: AK.AC = EH2, từ đó suy ra BH.HC + BE.EK = AK.AC. (ảnh 1)

1) Áp dụng hệ thức lượng giác vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

AH² = BH.HC

⇒ 6²= 3. HC ⇒ HC = 6² : 3= 12cm

Ta có : BC = BH + HC = 3 + 12 =15 cm

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} \Rightarrow A C = 6 \sqrt{5} A B = \sqrt{A H^{2} + B H^{2}} = \sqrt{3^{2} + 6^{2}} = 3 \sqrt{5}$

Xét tam giác BAC vuông tại A có: sin $\hat{A B C} = \frac{A C}{B C} = \frac{6 \sqrt{5}}{15} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \Rightarrow \hat{A B C} = 63 °$

2) Xét tam giác BAK và tam giác CAB có:

$\hat{B A K} = \hat{B A C} = 90 °$

$\hat{B K A} = \hat{A B C}$ (cùng phụ với $\hat{K B A}$ )

Suy ra: ∆BAK ∽ ∆CAB (g.g)

⇒ $\frac{B A}{A C} = \frac{A K}{A B} \Rightarrow A B^{2} = A K . A C$

Lại có: ABHE là hình chữ nhật vì $\hat{H} = \hat{B} = \hat{E} = 90 °$ nên AB = HE

Suy ra: EH² = AK.AC (1)

Xét tam giác BEA và tam giác AEK có:

$\hat{B E A} = \hat{A E K} = 90 ° \hat{A B E} = \hat{K A E} = 90 ° - \hat{E A B}$

Suy ra: ∆BEA ∽ ∆AEK (g.g)

⇒ $\frac{B E}{A E} = \frac{A E}{E K}$ ⇒ BE.EK = AE²

Xét tam giác BHA và tam giác AHC có:

$\hat{B H A} = \hat{C H A} = 90 ° \hat{A B H} = \hat{C A H} = 90 ° - \hat{A C H}$

Suy ra: ∆BHA ∽ ∆AHC (g.g)

⇒ $\frac{B H}{A H} = \frac{A H}{H C}$ ⇒ AH² = BH.HC

⇒ BH.HC + BE.EK = AE² + AH² = EH² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BH.HC + BE.EK = AK.AC.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm D bất kì trên AB, lấy điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE = BD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F

a) Tam giác DBF là tam giác gì?

b) Chứng minh tứ giác DCEF là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm D bất kì trên AB, lấy điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE = BD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F (ảnh 1)

a) Ta có: DF // AC nên: $\hat{D F B} = \hat{A C B} = \hat{B}$

Suy ra: tam giác DBF cân tại D

b) Từ câu a ta có: DB = DF

Mà DB = CE theo giả thiết nên DF = CE

Lại có: DF // AC nên DF // CE

Xét tứ giác DCEF có: DF // CE và DF = CE

Vậy DCEF là hình bình hành.

Câu 2

Cho tam giác vuông ABC vuông ở A có đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.

a. So sánh AH và EF.

b. Tính độ dài HF biết AB = 6 cm, BC = 10 cm và BH = 3,6 cm.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác vuông ABC vuông ở A có đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. a. So sánh AH và EF. b. Tính độ dài HF biết AB = 6 cm, BC = 10 cm và BH = 3,6 cm. (ảnh 1)

a) Xét tứ giác AEHF có: $\hat{A} = \hat{E} = \hat{F} = 90 °$

Nên AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: AH = EF

b) Xét tam giác AHE và tam giác AHB có:

$\hat{A}$ chung

$\hat{A E H} = \hat{A H B} = 90 °$

⇒ ∆AEH ∽ ∆AHB (g.g)

⇒ $\frac{A E}{A H} = \frac{A H}{A B}$

⇒ AE = $\frac{A H^{2}}{A B} = \frac{A B^{2} - B H^{2}}{A B} = \frac{6^{2} - 3, 6^{2}}{6} = 3, 84 (c m)$ .

Câu 3