Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh: a3b3+b3c3+c3a3≥ab+bc+ca.

Đặt ab=x;bc=y;ca=z BĐT cần chứng minh trở thành: x3 + y3 + z3 ≥ x2 + y2 + z2 với xyz = 1 Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi: (x3 + y3 + z3)(x + y + z) ≥ (x2 + y2 + z2)2 ⇔ x3 + y3 + z3 ≥ x2+y2+z22x+y+z1 Theo BĐT AM-GM có: x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz ⇔ 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2 ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ x+y+z23≥x+y+z.3xyz33=x+y+z (2) Từ (1) và (2) suy ra: x3 + y3 + z3 ≥ x2 + y2 + z2 (đpcm) Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c.

Câu hỏi:

12/07/2024 615

Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}} + \sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}} + \sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $\sqrt{\frac{a}{b}} = x; \sqrt{\frac{b}{c}} = y; \sqrt{\frac{c}{a}} = z$

BĐT cần chứng minh trở thành: x³ + y³ + z³ ≥ x² + y² + z² với xyz = 1

Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi:

(x³ + y³ + z³)(x + y + z) ≥ (x² + y² + z²)²

⇔ x³ + y³ + z³≥ $\frac{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2}}{x + y + z} (1)$

Theo BĐT AM-GM có:

x² + y² + z²≥ xy + yz + xz

⇔ 3(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)²

⇔ x² + y² + z²≥ $\frac{{(x + y + z)}^{2}}{3} \geq \frac{(x + y + z) .3 \sqrt[3]{x y z}}{3} = x + y + z$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x³ + y³ + z³≥ x² + y² + z²(đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm D bất kì trên AB, lấy điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE = BD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F

a) Tam giác DBF là tam giác gì?

b) Chứng minh tứ giác DCEF là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm D bất kì trên AB, lấy điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE = BD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F (ảnh 1)

a) Ta có: DF // AC nên: $\hat{D F B} = \hat{A C B} = \hat{B}$

Suy ra: tam giác DBF cân tại D

b) Từ câu a ta có: DB = DF

Mà DB = CE theo giả thiết nên DF = CE

Lại có: DF // AC nên DF // CE

Xét tứ giác DCEF có: DF // CE và DF = CE

Vậy DCEF là hình bình hành.

Câu 2

Cho tam giác vuông ABC vuông ở A có đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.

a. So sánh AH và EF.

b. Tính độ dài HF biết AB = 6 cm, BC = 10 cm và BH = 3,6 cm.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác vuông ABC vuông ở A có đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. a. So sánh AH và EF. b. Tính độ dài HF biết AB = 6 cm, BC = 10 cm và BH = 3,6 cm. (ảnh 1)

a) Xét tứ giác AEHF có: $\hat{A} = \hat{E} = \hat{F} = 90 °$

Nên AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: AH = EF

b) Xét tam giác AHE và tam giác AHB có:

$\hat{A}$ chung

$\hat{A E H} = \hat{A H B} = 90 °$

⇒ ∆AEH ∽ ∆AHB (g.g)

⇒ $\frac{A E}{A H} = \frac{A H}{A B}$

⇒ AE = $\frac{A H^{2}}{A B} = \frac{A B^{2} - B H^{2}}{A B} = \frac{6^{2} - 3, 6^{2}}{6} = 3, 84 (c m)$ .

Câu 3