Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh: a3b3+b3c3+c3a3≥ab+bc+ca.

Đặt ab=x;bc=y;ca=z BĐT cần chứng minh trở thành: x3 + y3 + z3 ≥ x2 + y2 + z2 với xyz = 1 Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi: (x3 + y3 + z3)(x + y + z) ≥ (x2 + y2 + z2)2 ⇔ x3 + y3 + z3 ≥ x2+y2+z22x+y+z1 Theo BĐT AM-GM có: x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz ⇔ 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2 ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ x+y+z23≥x+y+z.3xyz33=x+y+z (2) Từ (1) và (2) suy ra: x3 + y3 + z3 ≥ x2 + y2 + z2 (đpcm) Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c.

Câu hỏi:

19/08/2025 975

Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}} + \sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}} + \sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $\sqrt{\frac{a}{b}} = x; \sqrt{\frac{b}{c}} = y; \sqrt{\frac{c}{a}} = z$

BĐT cần chứng minh trở thành: x³ + y³ + z³ ≥ x² + y² + z² với xyz = 1

Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi:

(x³ + y³ + z³)(x + y + z) ≥ (x² + y² + z²)²

⇔ x³ + y³ + z³≥ $\frac{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2}}{x + y + z} (1)$

Theo BĐT AM-GM có:

x² + y² + z²≥ xy + yz + xz

⇔ 3(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)²

⇔ x² + y² + z²≥ $\frac{{(x + y + z)}^{2}}{3} \geq \frac{(x + y + z) .3 \sqrt[3]{x y z}}{3} = x + y + z$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x³ + y³ + z³≥ x² + y² + z²(đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm D bất kì trên AB, lấy điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE = BD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F

a) Tam giác DBF là tam giác gì?

b) Chứng minh tứ giác DCEF là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm D bất kì trên AB, lấy điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE = BD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F (ảnh 1)

a) Ta có: DF // AC nên: $\hat{D F B} = \hat{A C B} = \hat{B}$

Suy ra: tam giác DBF cân tại D

b) Từ câu a ta có: DB = DF

Mà DB = CE theo giả thiết nên DF = CE

Lại có: DF // AC nên DF // CE

Xét tứ giác DCEF có: DF // CE và DF = CE

Vậy DCEF là hình bình hành.

Câu 2

Cho tam giác vuông ABC vuông ở A có đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.

a. So sánh AH và EF.

b. Tính độ dài HF biết AB = 6 cm, BC = 10 cm và BH = 3,6 cm.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác vuông ABC vuông ở A có đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. a. So sánh AH và EF. b. Tính độ dài HF biết AB = 6 cm, BC = 10 cm và BH = 3,6 cm. (ảnh 1)

a) Xét tứ giác AEHF có: $\hat{A} = \hat{E} = \hat{F} = 90 °$

Nên AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: AH = EF

b) Xét tam giác AHE và tam giác AHB có:

$\hat{A}$ chung

$\hat{A E H} = \hat{A H B} = 90 °$

⇒ ∆AEH ∽ ∆AHB (g.g)

⇒ $\frac{A E}{A H} = \frac{A H}{A B}$

⇒ AE = $\frac{A H^{2}}{A B} = \frac{A B^{2} - B H^{2}}{A B} = \frac{6^{2} - 3, 6^{2}}{6} = 3, 84 (c m)$ .

Câu 3