Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x2 + 2xy + y2 = 3. Tìm GTLN, GTNN của P = x2 + 2xy – y2.

Ta có: P3=x2+2xy−y24x2+2xy+y2 (*) Xét y = 0 thì x2 = 34⇒x=±32 Suy ra: P=322+2.32.0−02=34P=−322+2.−32.0−02=34 Xét y khác 0, chia cả (*) cho y2 ta được: P3=xy2+2xy−14xy2+2xy+1 Đặt xy=a⇒P3=a2+2a−14a2+2a+1 * Xét P3−−2=a2+2a−14a2+2a+1+2=3a+124a2+2a+1 Vì (3a + 1)2 ≥ 0 với mọi a nên 3a+124a2+2a+1≥0 Suy ra: P3−−2≥0⇒P≥−6 Vậy GTNN của P là -6 khi 3a + 1 = 0 hay a = −13⇔xy=−13⇔−3x=y Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 7x2 = 3 ⇔ x=217x=−217⇒y=−3217y=3217 Vậy GTNN của P là -6 khi (x; y) = 217;−3217;−217;3217 * Xét P3−13=a2+2a−14a2+2a+1−13=−a−224a2+2a+1 Vì –(a – 2)2 ≤ 0 với mọi a nên: −a−224a2+2a+1≤0,∀a Suy ra: P3−13≤0⇒P≤1 Vậy GTLN của P là 1 khi a – 2 = 0 hay a = 2. Khi đó x = 2y Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 21y2 = 3 ⇔ y=17y=−17⇒x=27x=−27 Vậy GTLN của P là 1 khi (x; y) = 27;17;−27;−17.

Câu hỏi:

24/02/2024 533

Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x² + 2xy + y² = 3.

Tìm GTLN, GTNN của P = x² + 2xy – y².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{P}{3} = \frac{x^{2} + 2 x y - y^{2}}{4 x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ (*)

Xét y = 0 thì x² = $\frac{3}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $[\begin{array}{l} P = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2. \frac{\sqrt{3}}{2} .0 - 0^{2} = \frac{3}{4} \\ P = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2. (- \frac{\sqrt{3}}{2} .) 0 - 0^{2} = \frac{3}{4} \end{array}$

Xét y khác 0, chia cả (*) cho y² ta được: $\frac{P}{3} = \frac{{(\frac{x}{y})}^{2} + 2 \frac{x}{y} - 1}{4 {(\frac{x}{y})}^{2} + 2 \frac{x}{y} + 1}$

Đặt $\frac{x}{y} = a \Rightarrow \frac{P}{3} = \frac{a^{2} + 2 a - 1}{4 a^{2} + 2 a + 1}$

* Xét $\frac{P}{3} - (- 2) = \frac{a^{2} + 2 a - 1}{4 a^{2} + 2 a + 1} + 2 = \frac{{(3 a + 1)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1}$

Vì (3a + 1)² ≥ 0 với mọi a nên $\frac{{(3 a + 1)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1} \geq 0$

Suy ra: $\frac{P}{3} - (- 2) \geq 0 \Rightarrow P \geq - 6$

Vậy GTNN của P là -6 khi 3a + 1 = 0 hay a = $\frac{- 1}{3} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{- 1}{3} \Leftrightarrow - 3 x = y$

Thay vào 4x² + 2xy + y² = 3, ta được: 7x² = 3

⇔ $[\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{21}}{7} \\ x = - \frac{\sqrt{21}}{7} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} y = \frac{- 3 \sqrt{21}}{7} \\ y = \frac{3 \sqrt{21}}{7} \end{array}$

Vậy GTNN của P là -6 khi (x; y) = $(\frac{\sqrt{21}}{7}; \frac{- 3 \sqrt{21}}{7}); (- \frac{\sqrt{21}}{7}; \frac{3 \sqrt{21}}{7})$

* Xét $\frac{P}{3} - \frac{1}{3} = \frac{a^{2} + 2 a - 1}{4 a^{2} + 2 a + 1} - \frac{1}{3} = \frac{- {(a - 2)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1}$

Vì –(a – 2)² ≤ 0 với mọi a nên: $\frac{- {(a - 2)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1} \leq 0, \forall a$

Suy ra: $\frac{P}{3} - \frac{1}{3} \leq 0 \Rightarrow P \leq 1$

Vậy GTLN của P là 1 khi a – 2 = 0 hay a = 2.

Khi đó x = 2y

Thay vào 4x² + 2xy + y² = 3, ta được: 21y² = 3

⇔ $[\begin{array}{l} y = \frac{1}{\sqrt{7}} \\ y = - \frac{1}{\sqrt{7}} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{2}{\sqrt{7}} \\ x = - \frac{2}{\sqrt{7}} \end{array}$

Vậy GTLN của P là 1 khi (x; y) = $(\frac{2}{\sqrt{7}}; \frac{1}{\sqrt{7}}); (- \frac{2}{\sqrt{7}}; - \frac{1}{\sqrt{7}})$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC. a) Tìm giao điểm của AM và (SBD). b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN). (ảnh 1)

a) Gọi AC ∩ BD = O

Khi đó O∈(SAC) và O ∈ (SBD)

⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Lại có S ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Do đó (SAC) ∩ (SBD) = SO

Gọi AM ∩ SO = P

Khi đó P ∈ AM và P ∈ SO, SO ⊂ (SBD)

Vậy AM ∩ (SBD) = P

b) Gọi AN ∩ BD = Q

Khi đó Q ∈ (AMN) và Q∈(SBD)

Lại có P ∈ (AMN) và P ∈ (SBD)

Vậy (AMN) ∩ (SBD) = PQ

Gọi PQ ∩ SD = R

Suy ra R ∈ (AMN) và R ∈ SD

Vậy SD ∩ (AMN) = R.

Câu 2

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh $S_{A B C} = \frac{1}{2} . B C . B A . \sin \hat{B} = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin \hat{A} = \frac{1}{2} . C A . C B . \sin \hat{C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh S ABC = 1/2 BC. BA.. sin B = 1/2 AB. AC . sin A = 1/2 CA. CB. sin C (ảnh 1)

Kẻ đường cao AH, BD

$S_{A B C} = \frac{1}{2} . A H . B C$ (*)

Mà tam giác AHB vuông tại H nên: $\sin \hat{B} = \frac{A H}{A B} \Rightarrow A H = A B . \sin \hat{B}$

Khi đó: $S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . B C . \sin \hat{B}$

Tương tự: Trong tam giác AHC vuông tại H có: $\sin \hat{C} = \frac{A H}{A C} \Rightarrow A H = A C . \sin \hat{C}$

Khi đó: $S_{A B C} = \frac{1}{2} . A C . B C . \sin \hat{C}$

Ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} . B D . A C$ (*)

Trong tam giác BAD vuông tại D có: $\sin A = \frac{B D}{A B} \Rightarrow B D = A B . \sin \hat{A}$

Thay vào (*) có:

S_{A B C} = \frac{1}{2} . B D . A C = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin \hat{A}

Câu 3

Cho hình 20 biết a // AB, b // AB và $\hat{M A N} = 100 °$ . Tính $\hat{N_{1}}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

cho các tập hợp A = (2; +∞) và B =[m² - 7; +∞) với m > 0. Tìm m để A\B là một khoảng có độ dài bằng 16.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho chóp S.ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tìm giao điểm của (AMN) và SC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình bình hành ABCD có $\hat{B A D} = 60 °$ ; AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD.

a) MCND là hình thoi.

b) ABMD là hình thang cân.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng d không có điểm chung với mặt phẳng (P).

B. Đường thẳng d có một điểm chung với mặt phẳng (P).

C. Đường thẳng d có đúng hai điểm chung với mặt phẳng (P).

D. Đường thẳng d có vô số điểm chung với mặt phẳng (P).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x2 + 2xy + y2 = 3. Tìm GTLN, GTNN của P = x2 + 2xy – y2.

Bình luận

Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC. a) Tìm giao điểm của AM và (SBD). b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh SABC=12.BC.BA.sinB^=12.AB.AC.sinA^=12.CA.CB.sinC^.

Cho hình 20 biết a // AB, b // AB và MAN^=100°. Tính N1^.

cho các tập hợp A = (2; +∞) và B =[m2 - 7; +∞) với m > 0. Tìm m để A\B là một khoảng có độ dài bằng 16.

Cho chóp S.ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tìm giao điểm của (AMN) và SC.

Cho hình bình hành ABCD có BAD^=60°; AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD. a) MCND là hình thoi. b) ABMD là hình thang cân.

Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây đúng?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x² + 2xy + y² = 3.

Tìm GTLN, GTNN của P = x² + 2xy – y².

Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh $S_{A B C} = \frac{1}{2} . B C . B A . \sin \hat{B} = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin \hat{A} = \frac{1}{2} . C A . C B . \sin \hat{C}$ .

Cho hình 20 biết a // AB, b // AB và $\hat{M A N} = 100 °$ . Tính $\hat{N_{1}}$ .

cho các tập hợp A = (2; +∞) và B =[m² - 7; +∞) với m > 0. Tìm m để A\B là một khoảng có độ dài bằng 16.

Cho hình bình hành ABCD có $\hat{B A D} = 60 °$ ; AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD.

a) MCND là hình thoi.

b) ABMD là hình thang cân.