Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x2 + 2xy + y2 = 3. Tìm GTLN, GTNN của P = x2 + 2xy – y2.

Ta có: P3=x2+2xy−y24x2+2xy+y2 (*) Xét y = 0 thì x2 = 34⇒x=±32 Suy ra: P=322+2.32.0−02=34P=−322+2.−32.0−02=34 Xét y khác 0, chia cả (*) cho y2 ta được: P3=xy2+2xy−14xy2+2xy+1 Đặt xy=a⇒P3=a2+2a−14a2+2a+1 * Xét P3−−2=a2+2a−14a2+2a+1+2=3a+124a2+2a+1 Vì (3a + 1)2 ≥ 0 với mọi a nên 3a+124a2+2a+1≥0 Suy ra: P3−−2≥0⇒P≥−6 Vậy GTNN của P là -6 khi 3a + 1 = 0 hay a = −13⇔xy=−13⇔−3x=y Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 7x2 = 3 ⇔ x=217x=−217⇒y=−3217y=3217 Vậy GTNN của P là -6 khi (x; y) = 217;−3217;−217;3217 * Xét P3−13=a2+2a−14a2+2a+1−13=−a−224a2+2a+1 Vì –(a – 2)2 ≤ 0 với mọi a nên: −a−224a2+2a+1≤0,∀a Suy ra: P3−13≤0⇒P≤1 Vậy GTLN của P là 1 khi a – 2 = 0 hay a = 2. Khi đó x = 2y Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 21y2 = 3 ⇔ y=17y=−17⇒x=27x=−27 Vậy GTLN của P là 1 khi (x; y) = 27;17;−27;−17.

Câu hỏi:

19/08/2025 795

Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x² + 2xy + y² = 3.

Tìm GTLN, GTNN của P = x² + 2xy – y².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{P}{3} = \frac{x^{2} + 2 x y - y^{2}}{4 x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ (*)

Xét y = 0 thì x² = $\frac{3}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $[\begin{array}{l} P = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2. \frac{\sqrt{3}}{2} .0 - 0^{2} = \frac{3}{4} \\ P = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2. (- \frac{\sqrt{3}}{2} .) 0 - 0^{2} = \frac{3}{4} \end{array}$

Xét y khác 0, chia cả (*) cho y² ta được: $\frac{P}{3} = \frac{{(\frac{x}{y})}^{2} + 2 \frac{x}{y} - 1}{4 {(\frac{x}{y})}^{2} + 2 \frac{x}{y} + 1}$

Đặt $\frac{x}{y} = a \Rightarrow \frac{P}{3} = \frac{a^{2} + 2 a - 1}{4 a^{2} + 2 a + 1}$

* Xét $\frac{P}{3} - (- 2) = \frac{a^{2} + 2 a - 1}{4 a^{2} + 2 a + 1} + 2 = \frac{{(3 a + 1)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1}$

Vì (3a + 1)² ≥ 0 với mọi a nên $\frac{{(3 a + 1)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1} \geq 0$

Suy ra: $\frac{P}{3} - (- 2) \geq 0 \Rightarrow P \geq - 6$

Vậy GTNN của P là -6 khi 3a + 1 = 0 hay a = $\frac{- 1}{3} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{- 1}{3} \Leftrightarrow - 3 x = y$

Thay vào 4x² + 2xy + y² = 3, ta được: 7x² = 3

⇔ $[\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{21}}{7} \\ x = - \frac{\sqrt{21}}{7} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} y = \frac{- 3 \sqrt{21}}{7} \\ y = \frac{3 \sqrt{21}}{7} \end{array}$

Vậy GTNN của P là -6 khi (x; y) = $(\frac{\sqrt{21}}{7}; \frac{- 3 \sqrt{21}}{7}); (- \frac{\sqrt{21}}{7}; \frac{3 \sqrt{21}}{7})$

* Xét $\frac{P}{3} - \frac{1}{3} = \frac{a^{2} + 2 a - 1}{4 a^{2} + 2 a + 1} - \frac{1}{3} = \frac{- {(a - 2)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1}$

Vì –(a – 2)² ≤ 0 với mọi a nên: $\frac{- {(a - 2)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1} \leq 0, \forall a$

Suy ra: $\frac{P}{3} - \frac{1}{3} \leq 0 \Rightarrow P \leq 1$

Vậy GTLN của P là 1 khi a – 2 = 0 hay a = 2.

Khi đó x = 2y

Thay vào 4x² + 2xy + y² = 3, ta được: 21y² = 3

⇔ $[\begin{array}{l} y = \frac{1}{\sqrt{7}} \\ y = - \frac{1}{\sqrt{7}} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{2}{\sqrt{7}} \\ x = - \frac{2}{\sqrt{7}} \end{array}$

Vậy GTLN của P là 1 khi (x; y) = $(\frac{2}{\sqrt{7}}; \frac{1}{\sqrt{7}}); (- \frac{2}{\sqrt{7}}; - \frac{1}{\sqrt{7}})$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC. a) Tìm giao điểm của AM và (SBD). b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN). (ảnh 1)

a) Gọi AC ∩ BD = O

Khi đó O∈(SAC) và O ∈ (SBD)

⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Lại có S ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Do đó (SAC) ∩ (SBD) = SO

Gọi AM ∩ SO = P

Khi đó P ∈ AM và P ∈ SO, SO ⊂ (SBD)

Vậy AM ∩ (SBD) = P

b) Gọi AN ∩ BD = Q

Khi đó Q ∈ (AMN) và Q∈(SBD)

Lại có P ∈ (AMN) và P ∈ (SBD)

Vậy (AMN) ∩ (SBD) = PQ

Gọi PQ ∩ SD = R

Suy ra R ∈ (AMN) và R ∈ SD

Vậy SD ∩ (AMN) = R.

Câu 2

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh $S_{A B C} = \frac{1}{2} . B C . B A . \sin \hat{B} = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin \hat{A} = \frac{1}{2} . C A . C B . \sin \hat{C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh S ABC = 1/2 BC. BA.. sin B = 1/2 AB. AC . sin A = 1/2 CA. CB. sin C (ảnh 1)

Kẻ đường cao AH, BD

$S_{A B C} = \frac{1}{2} . A H . B C$ (*)

Mà tam giác AHB vuông tại H nên: $\sin \hat{B} = \frac{A H}{A B} \Rightarrow A H = A B . \sin \hat{B}$

Khi đó: $S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . B C . \sin \hat{B}$

Tương tự: Trong tam giác AHC vuông tại H có: $\sin \hat{C} = \frac{A H}{A C} \Rightarrow A H = A C . \sin \hat{C}$

Khi đó: $S_{A B C} = \frac{1}{2} . A C . B C . \sin \hat{C}$

Ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} . B D . A C$ (*)

Trong tam giác BAD vuông tại D có: $\sin A = \frac{B D}{A B} \Rightarrow B D = A B . \sin \hat{A}$

Thay vào (*) có:

S_{A B C} = \frac{1}{2} . B D . A C = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin \hat{A}

Câu 3

Cho hình bình hành ABCD có $\hat{B A D} = 60 °$ ; AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD.

a) MCND là hình thoi.

b) ABMD là hình thang cân.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

cho các tập hợp A = (2; +∞) và B =[m² - 7; +∞) với m > 0. Tìm m để A\B là một khoảng có độ dài bằng 16.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình 20 biết a // AB, b // AB và $\hat{M A N} = 100 °$ . Tính $\hat{N_{1}}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho chóp S.ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tìm giao điểm của (AMN) và SC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho Hình 21. Biết x // z, y // z và góc $\hat{C A D} = 120 °$ .

a) Tính góc $\hat{D A z}$ .

b) Tính góc $\hat{C_{1}}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x² + 2xy + y² = 3.

Tìm GTLN, GTNN của P = x² + 2xy – y².

Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh $S_{A B C} = \frac{1}{2} . B C . B A . \sin \hat{B} = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin \hat{A} = \frac{1}{2} . C A . C B . \sin \hat{C}$ .

Cho hình bình hành ABCD có $\hat{B A D} = 60 °$ ; AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD.

a) MCND là hình thoi.

b) ABMD là hình thang cân.

cho các tập hợp A = (2; +∞) và B =[m² - 7; +∞) với m > 0. Tìm m để A\B là một khoảng có độ dài bằng 16.

Cho hình 20 biết a // AB, b // AB và $\hat{M A N} = 100 °$ . Tính $\hat{N_{1}}$ .