Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x2 + 2xy + y2 = 3. Tìm GTLN, GTNN của P = x2 + 2xy – y2.

Ta có: P3=x2+2xy−y24x2+2xy+y2 (*) Xét y = 0 thì x2 = 34⇒x=±32 Suy ra: P=322+2.32.0−02=34P=−322+2.−32.0−02=34 Xét y khác 0, chia cả (*) cho y2 ta được: P3=xy2+2xy−14xy2+2xy+1 Đặt xy=a⇒P3=a2+2a−14a2+2a+1 * Xét P3−−2=a2+2a−14a2+2a+1+2=3a+124a2+2a+1 Vì (3a + 1)2 ≥ 0 với mọi a nên 3a+124a2+2a+1≥0 Suy ra: P3−−2≥0⇒P≥−6 Vậy GTNN của P là -6 khi 3a + 1 = 0 hay a = −13⇔xy=−13⇔−3x=y Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 7x2 = 3 ⇔ x=217x=−217⇒y=−3217y=3217 Vậy GTNN của P là -6 khi (x; y) = 217;−3217;−217;3217 * Xét P3−13=a2+2a−14a2+2a+1−13=−a−224a2+2a+1 Vì –(a – 2)2 ≤ 0 với mọi a nên: −a−224a2+2a+1≤0,∀a Suy ra: P3−13≤0⇒P≤1 Vậy GTLN của P là 1 khi a – 2 = 0 hay a = 2. Khi đó x = 2y Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 21y2 = 3 ⇔ y=17y=−17⇒x=27x=−27 Vậy GTLN của P là 1 khi (x; y) = 27;17;−27;−17.

Câu hỏi:

24/02/2024 437

Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x² + 2xy + y² = 3.

Tìm GTLN, GTNN của P = x² + 2xy – y².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{P}{3} = \frac{x^{2} + 2 x y - y^{2}}{4 x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ (*)

Xét y = 0 thì x² = $\frac{3}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $[\begin{array}{l} P = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2. \frac{\sqrt{3}}{2} .0 - 0^{2} = \frac{3}{4} \\ P = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2. (- \frac{\sqrt{3}}{2} .) 0 - 0^{2} = \frac{3}{4} \end{array}$

Xét y khác 0, chia cả (*) cho y² ta được: $\frac{P}{3} = \frac{{(\frac{x}{y})}^{2} + 2 \frac{x}{y} - 1}{4 {(\frac{x}{y})}^{2} + 2 \frac{x}{y} + 1}$

Đặt $\frac{x}{y} = a \Rightarrow \frac{P}{3} = \frac{a^{2} + 2 a - 1}{4 a^{2} + 2 a + 1}$

* Xét $\frac{P}{3} - (- 2) = \frac{a^{2} + 2 a - 1}{4 a^{2} + 2 a + 1} + 2 = \frac{{(3 a + 1)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1}$

Vì (3a + 1)² ≥ 0 với mọi a nên $\frac{{(3 a + 1)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1} \geq 0$

Suy ra: $\frac{P}{3} - (- 2) \geq 0 \Rightarrow P \geq - 6$

Vậy GTNN của P là -6 khi 3a + 1 = 0 hay a = $\frac{- 1}{3} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{- 1}{3} \Leftrightarrow - 3 x = y$

Thay vào 4x² + 2xy + y² = 3, ta được: 7x² = 3

⇔ $[\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{21}}{7} \\ x = - \frac{\sqrt{21}}{7} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} y = \frac{- 3 \sqrt{21}}{7} \\ y = \frac{3 \sqrt{21}}{7} \end{array}$

Vậy GTNN của P là -6 khi (x; y) = $(\frac{\sqrt{21}}{7}; \frac{- 3 \sqrt{21}}{7}); (- \frac{\sqrt{21}}{7}; \frac{3 \sqrt{21}}{7})$

* Xét $\frac{P}{3} - \frac{1}{3} = \frac{a^{2} + 2 a - 1}{4 a^{2} + 2 a + 1} - \frac{1}{3} = \frac{- {(a - 2)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1}$

Vì –(a – 2)² ≤ 0 với mọi a nên: $\frac{- {(a - 2)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1} \leq 0, \forall a$

Suy ra: $\frac{P}{3} - \frac{1}{3} \leq 0 \Rightarrow P \leq 1$

Vậy GTLN của P là 1 khi a – 2 = 0 hay a = 2.

Khi đó x = 2y

Thay vào 4x² + 2xy + y² = 3, ta được: 21y² = 3

⇔ $[\begin{array}{l} y = \frac{1}{\sqrt{7}} \\ y = - \frac{1}{\sqrt{7}} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{2}{\sqrt{7}} \\ x = - \frac{2}{\sqrt{7}} \end{array}$

Vậy GTLN của P là 1 khi (x; y) = $(\frac{2}{\sqrt{7}}; \frac{1}{\sqrt{7}}); (- \frac{2}{\sqrt{7}}; - \frac{1}{\sqrt{7}})$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).

Xem đáp án » 12/07/2024 31,525

Câu 2:

Cho hình 20 biết a // AB, b // AB và $\hat{M A N} = 100 °$ . Tính $\hat{N_{1}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 7,608

Câu 3:

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh $S_{A B C} = \frac{1}{2} . B C . B A . \sin \hat{B} = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin \hat{A} = \frac{1}{2} . C A . C B . \sin \hat{C}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 7,272

Câu 4:

cho các tập hợp A = (2; +∞) và B =[m² - 7; +∞) với m > 0. Tìm m để A\B là một khoảng có độ dài bằng 16.

Xem đáp án » 12/07/2024 7,136

Câu 5:

Cho chóp S.ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tìm giao điểm của (AMN) và SC.

Xem đáp án » 11/07/2024 6,493

Câu 6:

Cho hình bình hành ABCD có $\hat{B A D} = 60 °$ ; AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD.

a) MCND là hình thoi.

b) ABMD là hình thang cân.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,822

Câu 7:

Cho Hình 21. Biết x // z, y // z và góc $\hat{C A D} = 120 °$ .

a) Tính góc $\hat{D A z}$ .

b) Tính góc $\hat{C_{1}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 5,593

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP