Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với $y\le 20$  thỏa mãn:

${\log }_{2023}\frac{x+1}{y+1}+x^2{y}^2+2x{y}^2\le \left(y+2\right)y^3$?

Đáp án đúng là: D

Số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 là $A_6^3=120\Rightarrow n\left(\Omega \right)=120$ .

Gọi biến cố A: “số được chọn là một số chia hết cho ”.

Giả sử số tự nhiên có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 có dạng $\overline{abc}$ .

· Chữ số c = 5 có 1 cách chọn;

· Chữ số  b ($b\ne c$) có 5 cách chọn;

· Chữ số a ($a\ne b;a\ne c$) có 4 cách chọn.

Suy ra $n\left(A\right)=\mathrm{1.5.4}=20$ .

Vậy xác suất cần tìm là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$ .

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm hình vuông ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

Ta có: AB//CD mà $CD\subset \left(SCD\right)$  nên AB//(SCD).

Khi đó $d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)=d\left(M,\left(SCD\right)\right).$

Trong (SMN) kẻ  $MI\perp SN,\left(I\in SN\right)$(1).

Lại có:  $\left\{\begin{array}{l}CD\perp MN\\ CD\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SMN\right)\Rightarrow CD\perp MI$(2).

Từ (1) và (2) ta có $MI\perp \left(SCD\right)$$\Rightarrow d\left(M,\left(SCD\right)\right)=MI.$

Xét tam giác SAC có $SA=SC=AC=a\sqrt{2}$  nên $\Delta SAC$  đều.

Do đó $SO=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}$ .

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD

Suy ra MN = AB = a.

Xét $\Delta SCD$  cân tại C (do SC - SD) có SN là đường trung tuyến.

$\Rightarrow SN\perp CD$.

Áp dụng định lí Pythagore trong $\Delta SCN$  có:

Vì $S_{SMN}=\frac{1}{2}MI\cdot SN=\frac{1}{2}SO\cdot MN\Rightarrow MI\cdot SN=SO\cdot MN$

$\Rightarrow MI=\frac{SO\cdot MN}{SN}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{2}\cdot a}{\frac{a\sqrt{7}}{2}}=\frac{a\sqrt{42}}{7}.$ .

Vậy $d\left(AB,CD\right)=\frac{a\sqrt{42}}{7}.$