Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3), B(-2; -7;6) và đường thẳng $\left(\Delta \right):\frac{x-2}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{3}$. Biết điểm M thay đổi trên $\left(\Delta \right)$ sao cho $\left|MA-MB\right|$ đạt giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất của $\left|MA-MB\right|$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Đáp án đúng là: D

Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng $\Delta$.

Vì $H\in \Delta$ nên $H\left(2-2t;-2+t;1+3t\right)$.

Ta có $\overrightarrow{AH}\left(1-2t;-4+t;-2+3t\right)$ và ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }=\left(-2;1;3\right)$.

Vì AH vuông góc với đường thẳng $\Delta$ nên $\overrightarrow{AH}\perp {\overrightarrow{u}}_{\Delta }\iff \overrightarrow{AH}.{\overrightarrow{u}}_{\Delta }=0$

$\iff -2\left(1-2t\right)+1\left(-4+t\right)+3\left(-2+3t\right)=0$$\iff 14t=12$

$\iff t=\frac{6}{7}$ $\Rightarrow H\left(\frac{2}{7};-\frac{8}{7};\frac{25}{7}\right)$.

Tương tự, giả sử $I\left(2-2a;-2+a;1+3a\right)$.

Ta có $\overrightarrow{BI}\left(4-2a;5+a;-5+3a\right)$ và ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }=\left(-2;1;3\right)$.

Vì BI vuông góc với đường thẳng $\Delta$ nên $\overrightarrow{BI}\perp {\overrightarrow{u}}_{\Delta }\iff \overrightarrow{BI}.{\overrightarrow{u}}_{\Delta }=0$

$\iff -2\left(4-2a\right)+1\left(5+a\right)+3\left(-5+3a\right)=0$

$\iff a=\frac{9}{7}$ $\Rightarrow I\left(-\frac{4}{7};-\frac{5}{7};\frac{34}{7}\right)$.

Dựng đường thẳng d đi qua I và song song với HA và chọn điểm B' cùng phía với A so với $\Delta$ sao cho $B^{\text{'}}I=BI$.

Ta có $MB=MB\text{'}$ $\Rightarrow \left|MA-MB\right|=\left|MA-M{B}^{\text{'}}\right|\le A{B}^{\text{'}}$.

Dấu "=" xảy ra khi A, B', M thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB (hình vẽ).

Vậy giá trị lớn nhất của $\left|MA-MB\right|$ là AB'.

Ta có $AH=\sqrt{{\left(\frac{2}{7}-1\right)}^2+{\left(\left(-\frac{8}{7}\right)-2\right)}^2+{\left(\frac{25}{7}-3\right)}^2}=\frac{5\sqrt{21}}{7}$,

$B^{\text{'}}I=BI=\sqrt{{\left(\left(\frac{-4}{7}\right)+2\right)}^2+{\left(\left(\frac{-5}{7}\right)+7\right)}^2+{\left(\left(\frac{34}{7}\right)-6\right)}^2}=\frac{10\sqrt{21}}{7}$.

$\Rightarrow B^{\text{'}}K=B^{\text{'}}I-AH=\frac{5\sqrt{21}}{7}$ (do $B^{\text{'}}I>AH$) và $HI=\frac{3\sqrt{14}}{7}$.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AKB' ta có,

$AB\text{'}=\sqrt{A{K}^2+B^{\text{'}}{K}^2}=\frac{\sqrt{651}}{7}\approx \mathrm{3,645}$.