Xét các số thực x, y thỏa mãn log12x+log2x2+y≤−2log14y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+4y. A. 11+47 B. 11+57 C. 11-57 D. 11-47

Đáp án đúng là: A Điều kiện x,y>0. Bất phương trình đã cho tương đương log12x+log2x2+y≤−2log14y⇔log2x2+yx≤log2y⇔x2+yx≤y⇔x2+y≤xy. Xét 0<x≤1, ta có x2+y≤xy⇔x2≤x−1y≤0 (vô nghiệm). Xét x>1, ta có P=3x+4y>3x>3. (1) Mặt khác P=3x+4y⇔y=P−3x4 suy ra. x2+y≤xy⇔x2+P−3x4≤x⋅P−3x4⇔7x2−P+3x+P≤0 Tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi 7x2−P+3x+P≤0 có nghiệm. Do đó Δ=P+32−28P≥0⇔P2−22P+9≥0⇔P≥11+47P≤11−47. (2) Từ (1) và (2) suy ra P≥11+47. Dấu đẳng thức xảy ra khi: 7x2−14+47x+11+47≤0⇔x=7+277⇒y=28+11714.

Câu hỏi:

01/03/2024 514

Xét các số thực x, y thỏa mãn $\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{2} (x^{2} + y) \leq - 2 \log_{\frac{1}{4}} y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 4 y$ .

A. $11 + 4 \sqrt{7}$

B. $11 + 5 \sqrt{7}$

C. $11 - 5 \sqrt{7}$

D. $11 - 4 \sqrt{7}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 19) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: A

Điều kiện $x, y > 0$ . Bất phương trình đã cho tương đương

$\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{2} (x^{2} + y) \leq - 2 \log_{\frac{1}{4}} y \Leftrightarrow \log_{2} \frac{x^{2} + y}{x} \leq \log_{2} y \Leftrightarrow \frac{x^{2} + y}{x} \leq y \Leftrightarrow x^{2} + y \leq x y$ .

Xét $0 < x \leq 1$ , ta có $x^{2} + y \leq x y \Leftrightarrow x^{2} \leq (x - 1) y \leq 0$ (vô nghiệm).

Xét $x > 1$ , ta có $P = 3 x + 4 y > 3 x > 3$ . (1)

Mặt khác $P = 3 x + 4 y \Leftrightarrow y = \frac{P - 3 x}{4}$ suy ra.

$x^{2} + y \leq x y \Leftrightarrow x^{2} + \frac{P - 3 x}{4} \leq x \cdot \frac{P - 3 x}{4} \Leftrightarrow 7 x^{2} - (P + 3) x + P \leq 0$

Tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi $7 x^{2} - (P + 3) x + P \leq 0$ có nghiệm.

Do đó $Δ = {(P + 3)}^{2} - 28 P \geq 0 \Leftrightarrow P^{2} - 22 P + 9 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} P \geq 11 + 4 \sqrt{7} \\ P \leq 11 - 4 \sqrt{7} . \end{array}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $P \geq 11 + 4 \sqrt{7}$ .

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

$7 x^{2} - (14 + 4 \sqrt{7}) x + (11 + 4 \sqrt{7}) \leq 0 \Leftrightarrow x = \frac{7 + 2 \sqrt{7}}{7} \Rightarrow y = \frac{28 + 11 \sqrt{7}}{14}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ là

A. y = 1

B. y = 2

C. x = -2

D. x = 1

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Có $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{x - 2}{x + 1} = 1; \lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{x - 2}{x + 1} = 1$ .

Do đó y = 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 2

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=SB=SC. Gọi I là trung điểm của AB. Góc giữa SI và BC bằng?

A. $90 °$

B. $30 °$

C. $45 °$

D. $60 °$

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=SB=SC. Gọi I là trung điểm của AB. Góc giữa SI và BC bằng? (ảnh 1)

Gọi K là trung điểm của AC.

Khi đó $I K // B C \Rightarrow \hat{(S I, B C)} = \hat{(S I, I K)}$ .

Ta có $S I = \frac{1}{2} A B, S K = \frac{1}{2} A C, I K = \frac{1}{2} B C$ (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Do $S A = S B = S C \Rightarrow A B = B C = A C$ , khi đó $S I = S K = I K$ hay $Δ S I K$ là tam giác đều.

Vậy $\hat{(S I, B C)} = \hat{(S I, I K)} = 60 °$ .

Câu 3

Một hộp chứa 15 quả cầu gồm 6 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 6 và 9 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên hai quả từ hộp đó, xác suất để lấy được hai quả khác màu, khác số và có ít nhất một quả ghi số chẵn bằng

A. $\frac{2}{7}$

B. $\frac{13}{35}$

C. $\frac{9}{35}$

D. $\frac{12}{35}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang ( mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn là 1m, trục bé 0,8m, chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m. Được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình vẽ). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m. Tính thể tích V của dầu có trong thùng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. $V = 1,27 m^{3} .$

B. $V = 1,31 m^{3} .$

C. $V = 1,19 m^{3} .$

D. $V = 1,52 m^{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm trên $[- 1; 2], f (- 1) = 8; f (2) = - 1$ . Tích phân $\int_{- 1}^{2} f^{'} (x) d x$ bằng

A. 7

B. 1

C. 9

D. -9

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{2} + 2 x$ trên $ℝ$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g (x) = f (x^{2} - 8 x + m)$ có 5 điểm cực trị dương?

A. 0

B. 14

C. 13

D. 12

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz tọa độ nào sau đây là tọa độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 2 + 4 t \\ y = 1 - 6 t \\ z = 9 t \end{cases}, (t \in ℝ) ?$

A. $(4; - 6; 0)$

B. $(\frac{1}{3}; \frac{1}{2}; \frac{3}{4})$

C. $(2; 1; 0)$

D. $(\frac{1}{3}; \frac{- 1}{2}; \frac{3}{4})$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Xét các số thực x, y thỏa mãn log12x+log2x2+y≤−2log14y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+4y.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=x−2x+1 là

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=SB=SC. Gọi I là trung điểm của AB. Góc giữa SI và BC bằng?

Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm trên −1;2,f−1=8;f2=−1. Tích phân∫−12f'x dx bằng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'x=x2+2x trên ℝ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số gx= fx2–8x+m có 5 điểm cực trị dương?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz tọa độ nào sau đây là tọa độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ:x=2+4ty=1−6tz=9t,t∈ℝ?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Xét các số thực x, y thỏa mãn $\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{2} (x^{2} + y) \leq - 2 \log_{\frac{1}{4}} y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 4 y$ .

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ là

Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm trên $[- 1; 2], f (- 1) = 8; f (2) = - 1$ . Tích phân $\int_{- 1}^{2} f^{'} (x) d x$ bằng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{2} + 2 x$ trên $ℝ$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g (x) = f (x^{2} - 8 x + m)$ có 5 điểm cực trị dương?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz tọa độ nào sau đây là tọa độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 2 + 4 t \\ y = 1 - 6 t \\ z = 9 t \end{cases}, (t \in ℝ) ?$