Câu hỏi:

12/07/2024 12,014

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại điểm S. Gọi I là chân đường vuông góc kẻ từ điểm O đến đường thẳng BC.

1) Chứng minh tứ giác SAOI là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi H và D lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm A đến các đường thẳng SO và SC. Chứng minh $\hat{O A H} = \hat{I A D} .$

3) Vẽ đường cao CE của tam giác ABC. Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng BE . Đường thẳng QD cắt đường thẳng AH tại điểm K. Chứng minh $B Q \cdot B A = B D \cdot B I$ và đường thẳng CK song song với đường thẳng SO.

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC (ảnh 1)

1) Có SA là tiếp tuyến nên $S A ⊥ O A$ $\Rightarrow \hat{S A O} = 90 ° .$

Vì $O I ⊥ B C (g t) \Rightarrow \hat{S I O} = 90 ° .$

Tứ giác SAOI có $\hat{S A O} + \hat{S I O} = 90 ° + 90 ° = 180 °,$ mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên SAOI là tứ giác nội tiếp.

Vì SAOI là tứ giác nội tiếp nên $\hat{S O A} = \hat{S I A}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung SA) hay $\hat{A O H} = \hat{A I D} (1)$

$Δ A H O$ vuông tại $H (A H ⊥ S O)$ nên $\hat{A O H} + \hat{O A H} = 90 ° \Rightarrow \hat{O A H} = 90 ° - \hat{A O H} (2)$

$Δ A D I$ vuông tại $H (A D ⊥ S C)$ nên $\hat{A I D} + \hat{I A D} = 90 ° \Rightarrow \hat{I A D} = 90 ° - \hat{A I D} (3)$

Từ (1), (2) và (3) ta có $\hat{O A H} = \hat{I A D} .$

3) * Chứng minh $B Q \cdot B A = B D \cdot B I .$

Cách 1: Xét tứ giác AEDC có $\hat{A E C} = \hat{A D C} = 90 °,$ mà hai góc này cùng nhìn cạnh AC

Do đó tứ giác AEDC nội tiếp suy ra $\hat{A E D} + \hat{D C A} = 180 ° .$

Mà $\hat{A E D} + \hat{B E D} = 180 °$ (kề bù), suy ra $\hat{B E D} = \hat{D C A} .$

Xét $Δ B E D$ và $Δ B C A$ có: $\hat{A B C}$ chung và $\hat{B E D} = \hat{B C A} .$

Do đó $Δ B E D ∽ Δ B C A$ (g.g) $\Rightarrow \frac{B E}{B C} = \frac{B D}{B A}$ (tỉ số đồng dạng).

$\Rightarrow B D \cdot B C = B E \cdot B A$ $\Rightarrow \frac{1}{2} B C \cdot B D = \frac{1}{2} B E \cdot B A$ $\Rightarrow B I \cdot B D = B Q \cdot B A .$

Suy ra tứ giác QDIA nội tiếp.

Cách 2: Xét $Δ B C E$ có Q, I lần lượt là trung điểm của BE, BC nên QI là đường trung bình của tam giác.

$\Rightarrow Q I // E C,$ mà $A B ⊥ E C$ nên $A B ⊥ Q I$ hay $\hat{A Q I} = 90 ° .$

Xét tứ giác AQDI có $\hat{A Q I} = \hat{A D I} = 90 °,$ mà hai góc này cùng nhìn cạnh AI.

Do đó tứ giác AQDI nội tiếp $\Rightarrow B Q \cdot B A = B I \cdot B D .$

* Chứng minh $C K // S O .$

Ta có $\hat{B A D} = 90 ° - \hat{A B C} = 90 ° - \frac{\hat{A O C}}{2} = \hat{O A C} .$

Mà $\hat{I A D} = \hat{O A H}$ (theo câu b) nên $\hat{B A I} = \hat{K A C} .$

Lại có tứ giác AQDI nội tiếp nên $\hat{B D Q} = \hat{B A I} = \hat{K A C} .$

Mặt khác $\hat{C D K} = \hat{B D Q},$ do đó $\hat{C D K} = \hat{K A C} .$

Suy ra tứ giác ADKC nội tiếp nên $\hat{C K A} = \hat{C D A} = 90 ° \Rightarrow C K ⊥ A K .$

Mà $A K ⊥ S O$ nên $C K // S O .$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Theo kế hoạch, một phân xưởng phải làm xong 900 sản phẩm trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 3 ngày trước khi hết thời hạn, phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà phân xưởng làm được trong mỗi ngày là bằng nhau.)

2) Một khối gỗ dạng hình trụ có bán kính đáy là 30 cm và chiều cao là 120 cm Tính thể tích của khối gỗ đó (lấy $π \approx 3,14) .$

Xem đáp án » 12/07/2024 6,516

Câu 2:

1) Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{2}{x - 3} - 3 y = 1 \\ \frac{3}{x - 3} + 2 y = 8 \end{cases} .$

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = (m + 2) x - m .$

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi $x_{1}$ và $x_{2}$ là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm tất cả giá trị của m để $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{1}{x_{1} + x_{2} - 2} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,866

Câu 3:

Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn $a + b \leq 2.$ Chứng minh
$\frac{a^{2}}{a^{2} + b} + \frac{b^{2}}{b^{2} + a} \leq 1.$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,531

Câu 4:

Cho hai biểu thức $A = \frac{x + 2}{\sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 1} + \frac{3 - \sqrt{x}}{x - 1}$ với $x > 0, x \neq 1.$

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

2) Chứng minh $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} .$

3) Tìm tất cả giá trị của x để AB = 4.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,479

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.