Cho hai biểu thức $P = (\frac{x - 6 \sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}) : \frac{x + 4}{1 - x}$ và $Q = \frac{\sqrt{x}}{x + 4}$ (với $x \geq 0; x \neq 1) .$

1) Tính giá tri biểu thức Q với x = 4.

2) Chứng minh rằng $P = 4 Q .$

3) Tìm tất cả các giá trị của x để P nhận giá trị là các số nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 3) !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1) Theo bài ra $Q = \frac{\sqrt{x}}{x + 4}$ với $x \geq 0; x \neq 1.$

Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức Q ta có: $Q = \frac{\sqrt{4}}{4 + 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} .$

2) Với $x \geq 0; x \neq 1,$ ta có:

$P = (\frac{x - 6 \sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}) : \frac{x + 4}{1 - x}$ $= [\frac{x - 6 \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}] : \frac{x + 4}{1 - x}$

$= \frac{x - 6 \sqrt{x} + 1 - {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \cdot \frac{1 - x}{x + 4}$ $= \frac{x - 6 \sqrt{x} + 1 - x + 2 \sqrt{x} - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 4}$

$= \frac{- 4 \sqrt{x}}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{x + 4}$ $= \frac{4 \sqrt{x}}{x + 4} = 4 \cdot \frac{\sqrt{x}}{x + 4} = 4 \cdot Q .$

Vậy $P = 4 Q$ với $x \geq 0; x \neq 1.$

3) Ta có $P = \frac{4 \sqrt{x}}{x + 4}$ với $x \geq 0; x \neq 1.$

Với $x \geq 0; x \neq 1.$ ta có $4 \sqrt{x} \geq 0$ và $x + 4 > 0$ nên $P = \frac{4 \sqrt{x}}{x + 4} \geq 0 (1)$

Ta cũng có: $P = \frac{4 \sqrt{x}}{x + 4} = \frac{x + 4 - (x - 4 \sqrt{x} + 4)}{x + 4} = 1 - \frac{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{x + 4} .$

Với $x \geq 0; x \neq 1,$ ta có ${(\sqrt{x} - 2)}^{2} \geq 0$ và $x + 4 > 0$ nên $\frac{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{x + 4} \geq 0 \Rightarrow 1 - \frac{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{x + 4} \leq 1$

Hay $P \leq 1 (2) .$

Từ (1) và (2) suy ra $0 \leq P \leq 1.$

Mà P nhận giá trị là số nguyên nên $P \in \{0; 1\} .$

• Với P = 0 ta có $\frac{4 \sqrt{x}}{x + 4} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn);

• Với P = 1 ta có $\frac{4 \sqrt{x}}{x + 4} = 1 \Leftrightarrow 4 \sqrt{x} = x + 4$ $\Leftrightarrow x + 4 - 4 \sqrt{x} = 0$

$\Leftrightarrow {(\sqrt{x} - 2)}^{2} = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn).

Vậy $x \in \{0; 4\}$ thì P nhận giá trị là số nguyên.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R) . Kẻ AH vuông góc với BC tại H, HK vuông góc với AB tại K và HI vuông góc với AC tại I.

a) Chứng minh tứ giác AKHI nội tiếp.

b) Gọi E là giao điếm của AH với KI Chứng minh rằng $E A \cdot E H = E K \cdot E I .$

c) Chứng minh KJ vuông góc với AO.

d) Giả sử điểm A và đường tròn (O;R) cố định, còn dây cung BC thay đổi sao cho $A B \cdot A C = 3 R^{2} .$ Xác định vị trí của dây cung BC sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,230

Câu 2:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x + y = 3 \\ - x + y = 2 \end{cases}$ (với m là tham số).

1) Giải hệ phương trình vời m = 2.

2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 10.$

Xem đáp án » 12/07/2024 4,410

Câu 3:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \frac{x y^{3}}{y^{3} + 4} + \frac{y z^{3}}{z^{3} + 4} + \frac{z x^{3}}{x^{3} + 4}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,614

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho parabol $(P) : y = 2 x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = x + m$ (với m là tham số).

1) Tìn m để (d) đi qua điểm A (2;8).

2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} - 3 x_{1} x_{2} = 5.$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,382

Câu 5:

Một hình nón có diện tích đáy bằng $16 π ({cm}^{2})$ và có chiều cao gấp ba lần bán kính đáy. Tính thể tích của hình nón đó.

Xem đáp án » 11/07/2024 1,180

Xem thêm các câu hỏi khác »