Câu hỏi:

12/07/2024 2,345

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \frac{x y^{3}}{y^{3} + 4} + \frac{y z^{3}}{z^{3} + 4} + \frac{z x^{3}}{x^{3} + 4}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 3) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có:

$P = \frac{x y^{3}}{\frac{y^{3}}{2} + \frac{y^{3}}{2} + 4} + \frac{y z^{3}}{\frac{z^{3}}{2} + \frac{z^{3}}{2} + 4} + \frac{z x^{3}}{\frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + 4}$

$P \leq \frac{x y^{3}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{y^{3}}{2} \cdot \frac{y^{3}}{2} \cdot 4}} + \frac{y z^{3}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{z^{3}}{2} \cdot \frac{z^{3}}{2} \cdot 4}} + \frac{z x^{3}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} \cdot 4}} = \frac{x y^{3}}{3 y^{2}} + \frac{y z^{3}}{3 z^{2}} + \frac{z x^{3}}{3 x^{2}}$

$P \leq \frac{x y + y z + z x}{3}$

Lại có ${(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2} \geq 0, \forall x, y, z$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x$

$\Leftrightarrow {(x + y + z)}^{2} \geq 3 (x y + y z + z x)$

$\Leftrightarrow x y + y z + z x \leq \frac{(x + y + z)}{3} = \frac{6^{2}}{3} = 12$

$\Rightarrow P \leq \frac{12}{3} = 4$

Dấu "=" xảy ra khi $\{\begin{array}{l} x = y = z \\ x + y + z = 6 \end{array} \Leftrightarrow x = y = z = 2 .$

Vậy $Max P = 4 \Leftrightarrow x = y = z = 2$ .

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Hà Nội

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R) . Kẻ AH vuông góc với BC tại H, HK vuông góc với AB tại K và HI vuông góc với AC tại I.

a) Chứng minh tứ giác AKHI nội tiếp.

b) Gọi E là giao điếm của AH với KI Chứng minh rằng $E A \cdot E H = E K \cdot E I .$

c) Chứng minh KJ vuông góc với AO.

d) Giả sử điểm A và đường tròn (O;R) cố định, còn dây cung BC thay đổi sao cho $A B \cdot A C = 3 R^{2} .$ Xác định vị trí của dây cung BC sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Xem đáp án » 12/07/2024 17,935

Câu 2:

Cho hai biểu thức $P = (\frac{x - 6 \sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}) : \frac{x + 4}{1 - x}$ và $Q = \frac{\sqrt{x}}{x + 4}$ (với $x \geq 0; x \neq 1) .$

1) Tính giá tri biểu thức Q với x = 4.

2) Chứng minh rằng $P = 4 Q .$

3) Tìm tất cả các giá trị của x để P nhận giá trị là các số nguyên.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,912

Câu 3:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x + y = 3 \\ - x + y = 2 \end{cases}$ (với m là tham số).

1) Giải hệ phương trình vời m = 2.

2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 10.$

Xem đáp án » 12/07/2024 5,195

Câu 4:

Một hình nón có diện tích đáy bằng $16 π ({cm}^{2})$ và có chiều cao gấp ba lần bán kính đáy. Tính thể tích của hình nón đó.

Xem đáp án » 11/07/2024 3,292

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho parabol $(P) : y = 2 x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = x + m$ (với m là tham số).

1) Tìn m để (d) đi qua điểm A (2;8).

2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} - 3 x_{1} x_{2} = 5.$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,000

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=xy3y3+4+yz3z3+4+zx3x3+4.

Bình luận

Cho hai biểu thức P=x−6x+1x−1−x−1x+1:x+41−x và Q=xx+4 (với x≥0;x≠1). 1) Tính giá tri biểu thức Q với x = 4. 2) Chứng minh rằng P=4Q. 3) Tìm tất cả các giá trị của x để P nhận giá trị là các số nguyên.

Cho hệ phương trình mx+y=3−x+y=2 (với m là tham số). 1) Giải hệ phương trình vời m = 2. 2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x2+y2=10.

Một hình nón có diện tích đáy bằng 16π (cm2) và có chiều cao gấp ba lần bán kính đáy. Tính thể tích của hình nón đó.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho parabol P:y=2x2 và đường thẳng d:y=x+m (với m là tham số). 1) Tìn m để (d) đi qua điểm A (2;8). 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn x1+x2−3x1x2=5.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \frac{x y^{3}}{y^{3} + 4} + \frac{y z^{3}}{z^{3} + 4} + \frac{z x^{3}}{x^{3} + 4}$ .

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x + y = 3 \\ - x + y = 2 \end{cases}$ (với m là tham số).

1) Giải hệ phương trình vời m = 2.

2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 10.$

Một hình nón có diện tích đáy bằng $16 π ({cm}^{2})$ và có chiều cao gấp ba lần bán kính đáy. Tính thể tích của hình nón đó.