Câu hỏi:

12/07/2024 2,524

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \frac{x y^{3}}{y^{3} + 4} + \frac{y z^{3}}{z^{3} + 4} + \frac{z x^{3}}{x^{3} + 4}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 3) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có:

$P = \frac{x y^{3}}{\frac{y^{3}}{2} + \frac{y^{3}}{2} + 4} + \frac{y z^{3}}{\frac{z^{3}}{2} + \frac{z^{3}}{2} + 4} + \frac{z x^{3}}{\frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + 4}$

$P \leq \frac{x y^{3}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{y^{3}}{2} \cdot \frac{y^{3}}{2} \cdot 4}} + \frac{y z^{3}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{z^{3}}{2} \cdot \frac{z^{3}}{2} \cdot 4}} + \frac{z x^{3}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} \cdot 4}} = \frac{x y^{3}}{3 y^{2}} + \frac{y z^{3}}{3 z^{2}} + \frac{z x^{3}}{3 x^{2}}$

$P \leq \frac{x y + y z + z x}{3}$

Lại có ${(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2} \geq 0, \forall x, y, z$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x$

$\Leftrightarrow {(x + y + z)}^{2} \geq 3 (x y + y z + z x)$

$\Leftrightarrow x y + y z + z x \leq \frac{(x + y + z)}{3} = \frac{6^{2}}{3} = 12$

$\Rightarrow P \leq \frac{12}{3} = 4$

Dấu "=" xảy ra khi $\{\begin{array}{l} x = y = z \\ x + y + z = 6 \end{array} \Leftrightarrow x = y = z = 2 .$

Vậy $Max P = 4 \Leftrightarrow x = y = z = 2$ .

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R) . Kẻ AH vuông góc với BC tại H, HK vuông góc với AB tại K và HI vuông góc với AC tại I.

a) Chứng minh tứ giác AKHI nội tiếp.

b) Gọi E là giao điếm của AH với KI Chứng minh rằng $E A \cdot E H = E K \cdot E I .$

c) Chứng minh KJ vuông góc với AO.

d) Giả sử điểm A và đường tròn (O;R) cố định, còn dây cung BC thay đổi sao cho $A B \cdot A C = 3 R^{2} .$ Xác định vị trí của dây cung BC sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R) . Kẻ AH vuông góc với BC tại H, HK vuông góc với AB tại K và HI vuông góc với AC tại I. (ảnh 1)

a) Ta có: $\hat{A K H} = 90 °$ (vì $H K ⊥ A B$ tại $K);$

$\hat{A I H} = 90 °$ (vì $H I ⊥ A C$ tại I)

Xét tứ giác AKHI có:

$\hat{A K H} + \hat{A I H} = 90 ° + 90 ° = 180 °,$ mà hai góc này ở vị trí đối nhau.

Vậy tứ giác AKHI nội tiếp đường tròn.

b) Vì tứ giác AKHI nội tiếp đường tròn (cmt) nên

\hat{H K I} = \hat{H A I}

(hai góc nội tiếp cùng chắn

\overset{⏜}{H I})

Hay $\hat{H K E} = \hat{I A E} .$

Xét $Δ E K H$ và $Δ E A I$ có: $\hat{K E H} = \hat{A E I}$ (hai góc đối đỉnh) và $\hat{H K E} = \hat{I A E}$

Do đó: $Δ E K H ∽ Δ E A I$ (g.g) $\Rightarrow \frac{E K}{E A} = \frac{E H}{E I} \Rightarrow E A \cdot E H = E K \cdot E I .$

c) Kẻ đường kính AF của đường tròn (O;R); Gọi J là giao điểm của KI và AO.

Xét đường tròn (O;R) có $\hat{F_{1}} = \hat{B_{1}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $A C)$ (1)

Lại có $\hat{B_{1}} = \hat{H_{1}}$ (vì cùng phụ với $\hat{H_{2}})$ (2)

Vì tứ giác AKHI nội tiếp đường tròn (cmt)

nên $\hat{H_{1}} = \hat{I_{1}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\hat{F_{1}} = \hat{I_{1}} .$

Mà trong đường tròn (O;R) có: $\hat{A C F} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Hay $\hat{A_{1}} + \hat{F_{1}} = 90 ° (4)$ .

Từ (3) và (4) suy ra $\hat{A_{1}} + \hat{I_{1}} = 90 ° \Rightarrow \hat{A J I} = 90 ° .$

Vậy KI vuông góc với AO.

d) Giả sử điểm A và đường tròn (O;R) cố định, còn dây BC thay đổi sao cho $A B \cdot A C = 3 R^{2} .$

Có $\hat{A C F} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\hat{A B H} = \hat{A F C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{⏜}{A C}$ của đường tròn $(O; R) .$

Xét $Δ A H B$ và $Δ A C F$ có: $\hat{A H B} = \hat{A C F} (= 90 °)$ và $\hat{A B H} = \hat{A F C} .$

Do đó: $Δ A H B ∽ Δ A C F$ (g.g). Suy ra $\frac{A H}{A C} = \frac{A B}{A F} \Rightarrow A H = \frac{A B \cdot A C}{A F} = \frac{3 R^{2}}{2 R} = \frac{3 R}{2} .$

Ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} A H \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 R}{2} \cdot B C = \frac{3 R}{4} \cdot B C .$

Do R không đổi nên $S_{A B C}$ lớn nhất $\Leftrightarrow B C$ lớn nhất.

Gọi M là trung điểm của BC thì $O M ⊥ B C .$ Do đó BC lớn nhất $\Leftrightarrow O M$ bé nhất.

Ta có $O M \geq A M - A O \geq A H - A O = \frac{3 R}{2} - R = \frac{R}{2} .$

OM bé nhất bằng $\frac{R}{2} \Leftrightarrow A, O, M$ thẳng hàng và $H \equiv M .$

Khi đó $A H = A M = A O + O M = R + \frac{R}{2} = \frac{3 R}{2}$

Vậy diện tích $Δ A B C$ lớn nhất khi BC cách A một khoảng bằng $\frac{3 R}{2}$ $(Δ A B C$ đều).

Câu 2

Cho hai biểu thức $P = (\frac{x - 6 \sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}) : \frac{x + 4}{1 - x}$ và $Q = \frac{\sqrt{x}}{x + 4}$ (với $x \geq 0; x \neq 1) .$

1) Tính giá tri biểu thức Q với x = 4.

2) Chứng minh rằng $P = 4 Q .$

3) Tìm tất cả các giá trị của x để P nhận giá trị là các số nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

1) Theo bài ra $Q = \frac{\sqrt{x}}{x + 4}$ với $x \geq 0; x \neq 1.$

Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức Q ta có: $Q = \frac{\sqrt{4}}{4 + 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} .$

2) Với $x \geq 0; x \neq 1,$ ta có:

$P = (\frac{x - 6 \sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}) : \frac{x + 4}{1 - x}$ $= [\frac{x - 6 \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}] : \frac{x + 4}{1 - x}$

$= \frac{x - 6 \sqrt{x} + 1 - {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \cdot \frac{1 - x}{x + 4}$ $= \frac{x - 6 \sqrt{x} + 1 - x + 2 \sqrt{x} - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 4}$

$= \frac{- 4 \sqrt{x}}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{x + 4}$ $= \frac{4 \sqrt{x}}{x + 4} = 4 \cdot \frac{\sqrt{x}}{x + 4} = 4 \cdot Q .$

Vậy $P = 4 Q$ với $x \geq 0; x \neq 1.$

3) Ta có $P = \frac{4 \sqrt{x}}{x + 4}$ với $x \geq 0; x \neq 1.$

Với $x \geq 0; x \neq 1.$ ta có $4 \sqrt{x} \geq 0$ và $x + 4 > 0$ nên $P = \frac{4 \sqrt{x}}{x + 4} \geq 0 (1)$

Ta cũng có: $P = \frac{4 \sqrt{x}}{x + 4} = \frac{x + 4 - (x - 4 \sqrt{x} + 4)}{x + 4} = 1 - \frac{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{x + 4} .$

Với $x \geq 0; x \neq 1,$ ta có ${(\sqrt{x} - 2)}^{2} \geq 0$ và $x + 4 > 0$ nên $\frac{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{x + 4} \geq 0 \Rightarrow 1 - \frac{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{x + 4} \leq 1$

Hay $P \leq 1 (2) .$

Từ (1) và (2) suy ra $0 \leq P \leq 1.$

Mà P nhận giá trị là số nguyên nên $P \in \{0; 1\} .$

• Với P = 0 ta có $\frac{4 \sqrt{x}}{x + 4} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn);

• Với P = 1 ta có $\frac{4 \sqrt{x}}{x + 4} = 1 \Leftrightarrow 4 \sqrt{x} = x + 4$ $\Leftrightarrow x + 4 - 4 \sqrt{x} = 0$

$\Leftrightarrow {(\sqrt{x} - 2)}^{2} = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn).

Vậy $x \in \{0; 4\}$ thì P nhận giá trị là số nguyên.

Câu 3

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x + y = 3 \\ - x + y = 2 \end{cases}$ (với m là tham số).

1) Giải hệ phương trình vời m = 2.

2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 10.$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một hình nón có diện tích đáy bằng $16 π ({cm}^{2})$ và có chiều cao gấp ba lần bán kính đáy. Tính thể tích của hình nón đó.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho parabol $(P) : y = 2 x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = x + m$ (với m là tham số).

1) Tìn m để (d) đi qua điểm A (2;8).

2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} - 3 x_{1} x_{2} = 5.$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=xy3y3+4+yz3z3+4+zx3x3+4.

Cho hai biểu thức P=x−6x+1x−1−x−1x+1:x+41−x và Q=xx+4 (với x≥0;x≠1). 1) Tính giá tri biểu thức Q với x = 4. 2) Chứng minh rằng P=4Q. 3) Tìm tất cả các giá trị của x để P nhận giá trị là các số nguyên.

Cho hệ phương trình mx+y=3−x+y=2 (với m là tham số). 1) Giải hệ phương trình vời m = 2. 2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x2+y2=10.

Một hình nón có diện tích đáy bằng 16π (cm2) và có chiều cao gấp ba lần bán kính đáy. Tính thể tích của hình nón đó.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho parabol P:y=2x2 và đường thẳng d:y=x+m (với m là tham số). 1) Tìn m để (d) đi qua điểm A (2;8). 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn x1+x2−3x1x2=5.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \frac{x y^{3}}{y^{3} + 4} + \frac{y z^{3}}{z^{3} + 4} + \frac{z x^{3}}{x^{3} + 4}$ .

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x + y = 3 \\ - x + y = 2 \end{cases}$ (với m là tham số).

1) Giải hệ phương trình vời m = 2.

2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 10.$

Một hình nón có diện tích đáy bằng $16 π ({cm}^{2})$ và có chiều cao gấp ba lần bán kính đáy. Tính thể tích của hình nón đó.