Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - 4x + 4\), trục tung và trục hoành. Xác định \(k\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,\,4} \right)\) có hệ số góc \(k\) chia thành hai phần có diện tích bằng nhau?

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 4\) và trục hoành là:

\({x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2.{\rm{ }}\)

Diện tích hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số: \(y = {x^2} - 4x + 4\), trục tung và trục hoành là:

\[S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4x + 4} \right|} \,dx = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)} \,dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^2 = \frac{8}{3}.\]

Phương trình đường thẳng \((d)\) đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,\,4} \right)\) có hệ số góc \(k\) có dạng: \(y = kx + 4.\)

Gọi \(B\) là giao điểm của \((d)\) và trục hoành. Khi đó \(B\left( { - \frac{4}{k}\,;\,\,0} \right).\)

Đường thẳng \((d)\) chia \((H)\) thành hai phần có diện tích bằng nhau khi \(B \in OI\) và

\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}S = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 <  - \frac{4}{k} < 2}\\{{S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{{ - 4}}{k} = \frac{4}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k <  - 2}\\{k =  - \,6}\end{array} \Leftrightarrow k =  - 6.} \right.} \right.\)

Đáp án: −6.