Câu hỏi:

21/06/2024 150

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \({z^3} + 2i{\left| z \right|^2} = 0\)?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có: \({z^3} + 2i{\left| z \right|^2} = 0 \Leftrightarrow {z^3} + 2iz\bar z = 0 \Leftrightarrow z\left( {{z^2} + 2i\bar z} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 0}\\{{z^2} + 2i\bar z = 0}\end{array}} \right..\)

Gọi \(z = x + yi \Rightarrow \bar z = x - yi\) với \(x,y \in \mathbb{R}.\)

Thay vào (1) có: \({x^2} - {y^2} + 2xyi + 2i\left( {x - yi} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2y + 2x\left( {y + 1} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - {y^2} + 2y = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y =  - 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{ - y + 2y = 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - 1}\\{{x^2} - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\].

Ta có \[(2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 2}\end{array}} \right.\end{array} \right.\,;\,\] \[(3) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  \pm \,\sqrt 3 }\\{y =  - 1}\end{array}} \right.\].

Vậy có bốn số phức \(z\) thỏa mãn là: \(z = 0\,;\,\,z = 2i\,;\,\,z =  \pm \,\sqrt 3  - i.\)

Đáp án: 4.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Gọi \(x\) là số hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận lớn nhất.

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm chỉ số tiền thu được sau mỗi chuyến xe \(\left( {0 < x \le 60\,,\,\,x \in \mathbb{N}} \right).\)

Số tiền thu được sau mỗi chuyến xe:

\(F\left( x \right) = {\left( {300 - \frac{{5x}}{2}} \right)^2} \cdot x = 90\,\,000x - 1500{x^2} + \frac{{25}}{4}{x^3}\).

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(F(x)\) đạt giá trị lớn nhất thì \(F'\left( x \right) = 90\,\,000 - 3\,\,000x + \frac{{75}}{4}{x^2}\)

\(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 90\,\,000 - 3\,\,000x + \frac{{75}}{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 120}&{(L)}\\{x = 40}&{(TM)}\end{array}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

Media VietJack

Vậy để thu được lợi nhuận của mỗi chuyến xe là lớn nhất thì mỗi chuyến xe phải chở 40 người.

Câu 2

Lời giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,5} \right)\) lên \[Oy.\]

Suy ra \(H\left( {0\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right).\) Khi đó \(H\) là trung điểm đoạn \(AA'.\)

Do đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}}\\{{y_H} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}}\\{{z_H} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2 \cdot 0 - 2 =  - 2}\\{{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2 \cdot \left( { - 3} \right) - ( - 3) =  - 3}\\{{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = 2 \cdot 0 - 5 =  - 5}\end{array}} \right.} \right.\].

\[ \Rightarrow A'\left( { - 2\,;\,\, - 3\,;\,\, - 5} \right).\] Chọn D.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP