Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right)\) và mặt phẳng \((P):2x + 2y - z + 9 = 0.\) Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {3\,;\,\,4\,;\,\, - 4} \right)\) cắt \((P)\) tại B. Điểm \(M\) thay đổi trong \((P)\) sao cho \(M\) luôn nhìn đoạn AB dưới góc \(90^\circ .\) Khi độ dài \[MB\] lớn nhất thì tung độ của điểm \(M\) bằng bao nhiêu?

Phương trình đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}.\)

Vì \(B \in d\) nên \(B\left( {3b + 1\,;\,\,4b + 2\,;\,\, - 4b - 3} \right)\).

Mà \(B = d \cap (P)\) suy ra \(2\left( {3b + 1} \right) + 2\left( {4b + 2} \right) + 4b + 3 + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow b =  - 1 \Rightarrow B\left( { - 2\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right).\)

Gọi \(A'\) là hình chiếu của \(A\) trên \((P)\).

Phương trình đường thẳng \(AA'\) là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}} \Rightarrow A'\left( {2u + 1\,;\,\,2u + 2\,;\,\, - u - 3} \right).\)

\[A' \in (P) \Rightarrow 2\left( {2u + 1} \right) + 2\left( {2u + 2} \right) + u + 3 + 9 = 0 \Leftrightarrow u =  - 2 \Rightarrow A'\left( { - 3\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right){\rm{. }}\]

Theo bài ra, ta có \(M{A^2} + M{B^2} = A{B^2} \Leftrightarrow M{B^2} = A{B^2} - M{A^2} \le A{B^2} - A{A'^2}\).

Khi đó MB lớn nhất \( \Leftrightarrow M \equiv A' = \left( { - 3\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right).\) Đáp án: −2.