Câu hỏi:
13/07/2024 542Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right)\) và mặt phẳng \((P):2x + 2y - z + 9 = 0.\) Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {3\,;\,\,4\,;\,\, - 4} \right)\) cắt \((P)\) tại B. Điểm \(M\) thay đổi trong \((P)\) sao cho \(M\) luôn nhìn đoạn AB dưới góc \(90^\circ .\) Khi độ dài \[MB\] lớn nhất thì tung độ của điểm \(M\) bằng bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Phương trình đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}.\)
Vì \(B \in d\) nên \(B\left( {3b + 1\,;\,\,4b + 2\,;\,\, - 4b - 3} \right)\).
Mà \(B = d \cap (P)\) suy ra \(2\left( {3b + 1} \right) + 2\left( {4b + 2} \right) + 4b + 3 + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow b = - 1 \Rightarrow B\left( { - 2\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right).\)
Gọi \(A'\) là hình chiếu của \(A\) trên \((P)\).
Phương trình đường thẳng \(AA'\) là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}} \Rightarrow A'\left( {2u + 1\,;\,\,2u + 2\,;\,\, - u - 3} \right).\)
\[A' \in (P) \Rightarrow 2\left( {2u + 1} \right) + 2\left( {2u + 2} \right) + u + 3 + 9 = 0 \Leftrightarrow u = - 2 \Rightarrow A'\left( { - 3\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right){\rm{. }}\]
Theo bài ra, ta có \(M{A^2} + M{B^2} = A{B^2} \Leftrightarrow M{B^2} = A{B^2} - M{A^2} \le A{B^2} - A{A'^2}\).
Khi đó MB lớn nhất \( \Leftrightarrow M \equiv A' = \left( { - 3\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right).\) Đáp án: −2.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \(x\) là số hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận lớn nhất.
Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm chỉ số tiền thu được sau mỗi chuyến xe \(\left( {0 < x \le 60\,,\,\,x \in \mathbb{N}} \right).\)
Số tiền thu được sau mỗi chuyến xe:
\(F\left( x \right) = {\left( {300 - \frac{{5x}}{2}} \right)^2} \cdot x = 90\,\,000x - 1500{x^2} + \frac{{25}}{4}{x^3}\).
Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(F(x)\) đạt giá trị lớn nhất thì \(F'\left( x \right) = 90\,\,000 - 3\,\,000x + \frac{{75}}{4}{x^2}\)
\(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 90\,\,000 - 3\,\,000x + \frac{{75}}{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 120}&{(L)}\\{x = 40}&{(TM)}\end{array}.} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy để thu được lợi nhuận của mỗi chuyến xe là lớn nhất thì mỗi chuyến xe phải chở 40 người.
Lời giải
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,5} \right)\) lên \[Oy.\]
Suy ra \(H\left( {0\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right).\) Khi đó \(H\) là trung điểm đoạn \(AA'.\)
Do đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}}\\{{y_H} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}}\\{{z_H} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2 \cdot 0 - 2 = - 2}\\{{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2 \cdot \left( { - 3} \right) - ( - 3) = - 3}\\{{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = 2 \cdot 0 - 5 = - 5}\end{array}} \right.} \right.\].
\[ \Rightarrow A'\left( { - 2\,;\,\, - 3\,;\,\, - 5} \right).\] Chọn D.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận