Câu hỏi:

21/06/2024 189

Cho các số thực dương \[x,\,\,y\] thoả mãn \({2023^{4{x^2} - \,y\, + \,7x\, + \,10}} - \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}} = 0.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = y - 11x\) là

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có \({2023^{4{x^2} - y + 7x + 10}} - \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}} = 0.\)

\( \Leftrightarrow {2023^{4{x^2} - y + 7x + 10}} = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}} > 0 \Rightarrow y - 3x - 9 > 0\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - y + 7x + 10 = {\log _{2023}}\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}}\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - y + 7x + 10 = {\log _{2023}}\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - {\log _{2023}}\left( {y - 3x - 9} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _{2023}}\left( {y - 3x - 9} \right) - \left( {y - 3x - 9} \right) = {\log _{2023}}\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{2023}}t - t\) với \(t > 0\), có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t \cdot \ln 2023}} - 1 < 0\,;\,\,\forall t > 0.\)

Do đó \(f\left( t \right)\) là hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\).

Suy ra \(f\left( {y - 3x - 9} \right) = f\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) \Leftrightarrow y - 3x - 9 = 4{x^2} + 4x + 1\)

\( \Leftrightarrow y = 4{x^2} + 7x + 10 \Rightarrow M = y - 11x = 4{x^2} - 4x + 10 = {\left( {2x - 1} \right)^2} + 9 \ge 9.\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{2}\,;\,\,y = \frac{{29}}{2}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là 9. Đáp án: 9.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Gọi \(x\) là số hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận lớn nhất.

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm chỉ số tiền thu được sau mỗi chuyến xe \(\left( {0 < x \le 60\,,\,\,x \in \mathbb{N}} \right).\)

Số tiền thu được sau mỗi chuyến xe:

\(F\left( x \right) = {\left( {300 - \frac{{5x}}{2}} \right)^2} \cdot x = 90\,\,000x - 1500{x^2} + \frac{{25}}{4}{x^3}\).

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(F(x)\) đạt giá trị lớn nhất thì \(F'\left( x \right) = 90\,\,000 - 3\,\,000x + \frac{{75}}{4}{x^2}\)

\(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 90\,\,000 - 3\,\,000x + \frac{{75}}{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 120}&{(L)}\\{x = 40}&{(TM)}\end{array}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

Media VietJack

Vậy để thu được lợi nhuận của mỗi chuyến xe là lớn nhất thì mỗi chuyến xe phải chở 40 người.

Câu 2

Lời giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,5} \right)\) lên \[Oy.\]

Suy ra \(H\left( {0\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right).\) Khi đó \(H\) là trung điểm đoạn \(AA'.\)

Do đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}}\\{{y_H} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}}\\{{z_H} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2 \cdot 0 - 2 =  - 2}\\{{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2 \cdot \left( { - 3} \right) - ( - 3) =  - 3}\\{{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = 2 \cdot 0 - 5 =  - 5}\end{array}} \right.} \right.\].

\[ \Rightarrow A'\left( { - 2\,;\,\, - 3\,;\,\, - 5} \right).\] Chọn D.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP