Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1m như hình sau:

Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (m). Tìm giá trị của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đặt cạnh bên là \(y\) và cạnh đáy của chóp đều là \(x\).

Độ dài đường cao của mặt bên là: \(a = \sqrt {{y^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \).

Khi đó theo tấm nhôm, ta được: \(2a + x = \sqrt 2  \Leftrightarrow 2\sqrt {{y^2} - \frac{{{x^2}}}{4}}  + x = \sqrt 2 \) (bằng đường chéo tấm nhôm hình vuông).

\( \Rightarrow 4\left( {{y^2} - \frac{{{x^2}}}{4}} \right) = {\left( {\sqrt 2  - x} \right)^2} = {x^2} - 2x\sqrt 2  + 2 \Rightarrow 4{y^2} = 2{x^2} - 2x\sqrt 2  + 2.\)

Lại có \({V_{hc}} = \frac{1}{3}h \cdot {S_a} = \frac{1}{3}\sqrt {{y^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  \cdot {x^2} = \frac{{{x^2}}}{3}\sqrt {\frac{{1 - x\sqrt 2 }}{2}}  = \frac{1}{6}\sqrt {2{x^4} - 2\sqrt 2 {x^5}} .\)

Ta thấy \({V_{hc}}\) lớn nhất khi \(f\left( x \right) = 2{x^4} - 2\sqrt 2 {x^5}\) đạt giá trị lớn nhất \(\left( {0 < x < \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 8{x^3} - 10\sqrt 2 {x^4} = 2{x^3}\left( {4 - 5\sqrt 2 x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}}\end{array}} \right.\).

Ta có bảng biến thiên: