Câu hỏi:

13/07/2024 1,378

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1m như hình sau:

Media VietJack

Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (m). Tìm giá trị của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đặt cạnh bên là \(y\) và cạnh đáy của chóp đều là \(x\).

Độ dài đường cao của mặt bên là: \(a = \sqrt {{y^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \).

Khi đó theo tấm nhôm, ta được: \(2a + x = \sqrt 2  \Leftrightarrow 2\sqrt {{y^2} - \frac{{{x^2}}}{4}}  + x = \sqrt 2 \) (bằng đường chéo tấm nhôm hình vuông).

\( \Rightarrow 4\left( {{y^2} - \frac{{{x^2}}}{4}} \right) = {\left( {\sqrt 2  - x} \right)^2} = {x^2} - 2x\sqrt 2  + 2 \Rightarrow 4{y^2} = 2{x^2} - 2x\sqrt 2  + 2.\)

Lại có \({V_{hc}} = \frac{1}{3}h \cdot {S_a} = \frac{1}{3}\sqrt {{y^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  \cdot {x^2} = \frac{{{x^2}}}{3}\sqrt {\frac{{1 - x\sqrt 2 }}{2}}  = \frac{1}{6}\sqrt {2{x^4} - 2\sqrt 2 {x^5}} .\)

Ta thấy \({V_{hc}}\) lớn nhất khi \(f\left( x \right) = 2{x^4} - 2\sqrt 2 {x^5}\) đạt giá trị lớn nhất \(\left( {0 < x < \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 8{x^3} - 10\sqrt 2 {x^4} = 2{x^3}\left( {4 - 5\sqrt 2 x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}}\end{array}} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Media VietJack

Vậy thể tích khối chóp lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \frac{{2\sqrt 2 }}{5} \approx 0,57\;\,({\rm{m)}}.\)

Đáp án: \[{\bf{0}},{\bf{57}}\].

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Gọi \(x\) là số hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận lớn nhất.

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm chỉ số tiền thu được sau mỗi chuyến xe \(\left( {0 < x \le 60\,,\,\,x \in \mathbb{N}} \right).\)

Số tiền thu được sau mỗi chuyến xe:

\(F\left( x \right) = {\left( {300 - \frac{{5x}}{2}} \right)^2} \cdot x = 90\,\,000x - 1500{x^2} + \frac{{25}}{4}{x^3}\).

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(F(x)\) đạt giá trị lớn nhất thì \(F'\left( x \right) = 90\,\,000 - 3\,\,000x + \frac{{75}}{4}{x^2}\)

\(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 90\,\,000 - 3\,\,000x + \frac{{75}}{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 120}&{(L)}\\{x = 40}&{(TM)}\end{array}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

Media VietJack

Vậy để thu được lợi nhuận của mỗi chuyến xe là lớn nhất thì mỗi chuyến xe phải chở 40 người.

Câu 2

Lời giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,5} \right)\) lên \[Oy.\]

Suy ra \(H\left( {0\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right).\) Khi đó \(H\) là trung điểm đoạn \(AA'.\)

Do đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}}\\{{y_H} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}}\\{{z_H} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2 \cdot 0 - 2 =  - 2}\\{{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2 \cdot \left( { - 3} \right) - ( - 3) =  - 3}\\{{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = 2 \cdot 0 - 5 =  - 5}\end{array}} \right.} \right.\].

\[ \Rightarrow A'\left( { - 2\,;\,\, - 3\,;\,\, - 5} \right).\] Chọn D.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP