Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1; −1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2).

a) Tìm tọa độ các điểm C, B', D'.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

a) Ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {1;0; - 2} \right),\overrightarrow {AA'} = \left( { - 1;2; - 1} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;1} \right)\).

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 1\\{y_C} - 2 = 0\\{z_C} - 4 = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 1\\{y_C} = 2\\{z_C} = 2\end{array} \right.\).

Vậy C(1; 2; 2).

Vì ABB'A' là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = - 1\\{y_{B'}} - 2 = 2\\{z_{C'}} - 4 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = - 1\\{y_{B'}} = 4\\{z_{C'}} = 3\end{array} \right.\).

Vậy B'(−1; 4; 3).

Vì ADD'A' là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'D'} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 1\\{y_{D'}} - 1 = 0\\{z_{D'}} - 2 = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 1\\{y_{D'}} = 1\\{z_{D'}} = 0\end{array} \right.\).

Vậy D'(1; 1; 0).

b) Ta có: \(\overrightarrow {CB'} = \left( { - 2;2;1} \right),\overrightarrow {CD'} = \left( {0; - 1; - 2} \right)\).

Vì mặt phẳng (CB'D') có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {CB'} ,\overrightarrow {CD'} \) nên có một vectơ pháp tuyến là:

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {CB'} ,\overrightarrow {CD'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)\) = (−3; −4; 2).

Mặt phẳng (CB'D') đi qua điểm C(1; 2; 2) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 3; - 4;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

−3(x – 1) −4(y – 2) + 2(z −2) = 0 Û 3x + 4y – 2z – 7 = 0.