Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {2{x^3} - 3{x^2} + m} \right|.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để \({\min _{\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]}}f\left( x \right) \le 3\)?

Xét \(t = 2{x^3} - 3{x^2} + m \Rightarrow t = 6{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right..\)

Do đó \({\min _{\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]}}t\left( x \right) = m - 5\,;\,\,{\max _{\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]}}t\left( x \right) = m + 27.\)

• Nếu \[m - 5 \ge 0 \Rightarrow {\min _{\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]}}f\left( x \right) = m - 5 \le 3 \Leftrightarrow 5 \le m \le 8 \Rightarrow m \in \left\{ {5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8} \right\}.\]

• Nếu \(m + 27 \le 0 \Rightarrow {\min _{\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]}}f\left( x \right) =  - \left( {m + 27} \right) \le 3 \Leftrightarrow  - 30 \le m \le  - 27\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 30\,;\,\, - 29\,;\,\, - 28\,;\,\, - 27} \right\}.\)

• Nếu \[\left( {m - 5} \right)\left( {m + 27} \right) \le 0 \Rightarrow {\min _{\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]}}f\left( x \right) = 0.\]

Vậy \[m \in \left\{ { - 30\,;\,\, - 29\,;\,\, - 28\,;\,\, \ldots ;\,\,8} \right\}\] có tất cả 39 số nguyên thỏa mãn.

Đáp án: 39.