Trong các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|.\) Biết rằng số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,y \in \mathbb{R}} \right)\)  có môđun nhỏ nhất. Tính \(P = {x^2} + {y^2}.\)

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,y \in \mathbb{R}} \right).\)

Ta có \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 4} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y - 2} \right)i} \right|\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 8y + 16 = {x^2} + {y^2} - 4y + 4\)

\( \Leftrightarrow 4x + 4y - 16 = 0 \Leftrightarrow y = 4 - x{\rm{. }}\)

Do đó \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 - x} \right)}^2}}  = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16}  = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8}  \ge 2\sqrt 2 .\)

Dấu" =" xảy ra \( \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2.\) Vậy \(P = {2^2} + {2^2} = 8.\)

Đáp án: 8.