Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) thỏa mãn \(\left( {1 + {x^2}} \right) \cdot f'\left( x \right) - 1 = 3{x^4} + 4{x^2},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 0.\) Biết \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \(21 \cdot f\left( {{x^2}} \right)\) và \(F(0) = 10\), hãy tính \(F\left( 2 \right).\)

Ta có \(\left( {1 + {x^2}} \right)f'\left( x \right) - 1 = 3{x^4} + 4{x^2} \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{{3{x^4} + 4{x^2} + 1}}{{1 + {x^2}}}\).

Suy ra \[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = \int {\frac{{3{x^4} + 4{x^2} + 1}}{{1 + {x^2}}}} \;{\rm{d}}x\]

\( = \int {\frac{{3{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{1 + {x^2}}}} \;{\rm{d}}x = \int {\left( {3{x^2} + 1} \right)} \,{\rm{d}}x = {x^3} + x + C{\rm{. }}\)

Do \(f\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 2 + C = 0 \Leftrightarrow C =  - 2.\) Khi đó \(f\left( x \right) = {x^3} + x - 2.\)

Suy ra \(f\left( {{x^2}} \right) = {\left( {{x^2}} \right)^3} + {x^2} - 2 = {x^6} + {x^2} - 2.\)

Do \(F\left( x \right) = \int 2 1 \cdot f\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x = 21\int f \left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x\)\( = 21\int {\left( {{x^6} + {x^2} - 2} \right)\,} {\rm{d}}x = 21\left( {\frac{{{x^7}}}{7} + \frac{{{x^3}}}{3} - 2x} \right) + D{\rm{. }}\)

Mặt khác \(F(0) = 10 \Rightarrow D = 10.\) Suy ra \(F\left( x \right) = 3{x^7} + 7{x^3} - 42x + 10.\)

Vậy \(F(2) = 3 \cdot {2^7} + 7 \cdot {2^3} - 42 \cdot 2 + 10 = 366.\) Chọn C.