Câu hỏi:
25/06/2024 2,650
Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn là \(1\;\,{\rm{m,}}\) trục bé \(0,8\;\,{\rm{m,}}\) chiều dài (mặt trong của thùng) bằng \(3\;\,{\rm{m}}\) được đặt sao cho trục bé nắm theo phương thẳng đứng (như hình vẽ). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là \[0,6{\rm{ }}m.\] Thể tích \[V\] của dầu có trong thùng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.
Theo đề ta có phương trình của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{4}{{25}}}} = 1.\)
Gọi \[M,\,\,N\] lần lượt là giao điểm của dầu với elip.
Gọi \({S_1}\) là diện tích của hình elip ta có \({S_1} = \pi ab = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{\pi }{5}.\)
Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip và đường thẳng \[MN\]
Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là \[0,6{\rm{ }}m\] nên ta có phương trình của đường thẳng \[MN\] là \(y = \frac{1}{5}.\)
Mặt khác, từ phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{4}{{25}}}} = 1\), ta có \(y = \frac{4}{5}\sqrt {\frac{1}{4} - {x^2}} .\)
Do đường thẳng \(y = \frac{1}{5}\) cắt elip tại hai đỉnh \[M,\,\,N\] có hoành độ lần lượt là \( - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) và \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\) nên
\({S_2} = \int\limits_{ - \frac{{\sqrt 3 }}{4}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}} {\left( {\frac{4}{5}\sqrt {\frac{1}{4} - {x^2}} - \frac{1}{5}} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{4}{5}\int\limits_{ - \frac{{\sqrt 3 }}{4}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}} {\sqrt {\frac{1}{4} - {x^2}} } \,{\rm{d}}x - \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}{\rm{. }}\)
Tính \(I = \int\limits_{ - \frac{{\sqrt 3 }}{4}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}} {\sqrt {\frac{1}{4} - {x^2}} } \,{\rm{d}}x\). Đặt \(x = \frac{1}{2}\sin t \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\cos t\;{\rm{d}}t.\)
Đổi cận: Khi \(x = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) thì \(t = - \frac{\pi }{3}\); khi \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) thì \(t = \frac{\pi }{3}.\)
\(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}{{\cos }^2}t\;{\rm{d}}t} = \frac{1}{8}\int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{8}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\)
Do đó \({S_2} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{8}{\left( {\frac{{2\pi }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} - \frac{{\sqrt 3 }}{{10}} = \frac{\pi }{{15}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{20}}.\)
Thể tích của dầu trong thùng là \(V = \left( {\frac{\pi }{5} - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{\sqrt 3 }}{{20}}} \right) \cdot 3 = 1,52\).
Vậy \(V = 1,52\;\,{{\rm{m}}^3}.\) Chọn D.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Huyết áp giảm nhiều nhất thì hàm số \(G\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^2}\left( {15 - x} \right)\) trên \[\left( {0\,;\,\,15} \right)\], có \[h'\left( x \right) = 30x - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 10}\end{array}} \right.\].
Dựa vào BBT của \(h\left( x \right)\), ta thấy \(h\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = 10.\) Chọn D.
Lời giải
Chọn hệ trục toạ độ \[Oxyz\] sao cho \(O \equiv A\), tia \(Ox \equiv AD\), tia \(Oy \equiv AB.\)
Khi đó, \[A\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right)\,;\,\,B\left( {0\,;\,\,2\,\,500\,;\,\,0} \right)\,;\,\]\[\,C\left( {1\,\,800\,;\,\,2500\,;\,\,0} \right)\,;\]\[D\left( {1500\,\,;\,\,0\,;\,\,0} \right).\]
Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm xuống \[B,\,\,C,\,\,D\] thấp hơn so với độ cao ở \(A\) là \[10\,\,{\rm{cm}},\,\,a\,\,{\rm{cm}},\,\,6\,\,{\rm{cm}}\] tương ứng ta có các điểm mới \[B'\left( {0\,;\,\,2\,\,500\,;\,\, - 10} \right)\,;\,\,C'\left( {1800\,;\,\,2500\,;\,\, - a} \right)\,;\,\,\]\[D'\left( {1500\,;\,\,0\,;\,\, - 6} \right).\]Theo bài ra có \(A,\,\,B',\,\,C',\,\,D'\) đồng phẳng.
Phương trình mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right):x + y + 250z = 0.\)
Do \[C'\left( {1\,\,800\,;\,\,2500\,;\,\, - a} \right) \in \left( {AB'D'} \right)\] nên có \(1800 + 2500 - 250a = 0 \Rightarrow a = 17,2.\)
Vậy \(a = 17,2\;\,{\rm{cm}}.\)Chọn B.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)
Nhắn tin Zalo