Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích (đơn vị \({m^3})\) khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (đường cong trong hình vẽ là các đường parabol)?

Gọi \(\left( {{P_1}} \right):y = {a_1}{x^2} + {b_1}\) là parabol đi qua hai điểm \(A\left( {\frac{{19}}{2};\,\,0} \right),\,\,B\left( {0\,;\,\,2} \right).\)

Nên ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = a \cdot {{\left( {\frac{{19}}{2}} \right)}^2} + 2}\\{2 = b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_1} =  - \frac{8}{{361}}}\\{{b_1} = 2}\end{array} \Rightarrow \left( {{P_1}} \right):y =  - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right.} \right..\)

Gọi \(\left( {{P_2}} \right):y = {a_2}{x^2} + {b_2}\) là parabol đi qua hai điểm \(C\left( {10\,;\,\,0} \right),\,\,D\left( {0\,;\,\,\frac{5}{2}} \right)\)

Nên ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = {a_2} \cdot {{(10)}^2} + \frac{5}{2}}\\{\frac{5}{2} = {b_2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_2} =  - \frac{1}{{40}}}\\{{b_2} = \frac{5}{2}}\end{array} \Rightarrow \left( {{P_2}} \right):y =  - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}} \right.} \right..\)

Thể tích của bê tông là: \[V = 5 \cdot 2\left[ {\int\limits_0^{10} {\left( { - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}} \right){\rm{d}}x} \, - \int\limits_0^{\frac{{19}}{2}} {\left( { - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right){\rm{d}}x} } \right] = 40\;\,\left( {{{\rm{m}}^3}} \right).\]

Đáp án: 40.