Cho số phức \(z\) thỏa mãn \[\left( {z + 1 - 3i} \right)\left( {\bar z + 1 + 3i} \right) = 25.\] Biết tập hợp biểu diễn số phức \(z\) là một đường tròn có tâm \(I\left( {a\,;\,\,b} \right)\) và bán kính \[c.\] Tổng \(a + b + c\) bằng

Cách 1: Ta có 

$\left(z+1-3i\right)\left(\overline{z}+1+3i\right)=25\iff z\cdot \overline{z}+\left(z+\overline{z}\right)+\left(z-\overline{z}\right)3i=15(*).$

Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{z \cdot \bar z = {x^2} + {y^2}}\\{z + \bar z = 2x}\\{z - \bar z = 2yi}\end{array}} \right.\)

Thay vào \((*)\) ta được \({x^2} + {y^2} + 2x - 6y - 15 = 0.\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) thuộc đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left( { - 1\,;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 1}\\{b = 3}\\{c = 5}\end{array}} \right.\). Vậy \(a + b + c = 7.\)

Cách 2: Đặt \({z_0} =  - 1 + 3i\) và \(R = 5.\)

Ta có \(\left| {z - {z_0}} \right|\left| {\bar z - \overline {{z_0}} } \right| = \left| {z - {z_0}} \right|\left| {\overline {z - {z_0}} } \right| = {\left| {z - {z_0}} \right|^2}.\)

Suy ra \(\left| {z - {z_0}} \right|\left| {\bar z - \overline {{z_0}} } \right| = {R^2} \Leftrightarrow {\left| {z - {z_0}} \right|^2} = {R^2} \Leftrightarrow \left| {z - {z_0}} \right| = R\), với \(R > 0.\)

Vậy tập hợp biểu diễn số phức \(z\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( { - 1\,;\,\,3} \right)\), bán kính \(R = 5.\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 1}\\{b = 3}\\{c = 5}\end{array}} \right.\) . Vậy \(a + b + c = 7.\)

Đáp án: 7.