Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thoả mãn \({2022^{ - 1}} \le y \le 2022\) và \({2.3^{x - 1}} - {\log _3}\left( {{3^{x - 2}} + 2y} \right) = 6y - x + 1\,{\rm{? }}\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt \({\log _3}\left( {{3^{x - 2}} + 2y} \right) = a \Leftrightarrow {3^{x - 2}} + 2y = {3^a}\) và \({2.3^{x - 1}} - a = 6y - x + 1\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{x - 2}} + 2y = {3^a}}\\{{{2.3}^{x - 1}} - a = 6y - x + 1}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 \cdot {3^a} = {3^{x - 1}} + 6y}\\{2 \cdot {3^{x - 1}} - a = 6y - x + 1}\end{array}} \right.\)

Lấy (1) trừ (2), ta được \(3 \cdot {3^a} - 2 \cdot {3^{x - 1}} + a = {3^{x - 1}} + x - 1\)

\( \Leftrightarrow {3^{a + 1}} + a = {3^x} + x - 1\)\( \Leftrightarrow f(a) = f\left( {x - 1} \right)\) với \(f(t) = {3^{t + 1}} + t\) là hàm số đồng biến.

Do đó \(a = x - 1 \Leftrightarrow {3^{x - 2}} + 2y = {3^{x - 1}} \Leftrightarrow 2y = \frac{2}{9}{.3^x} \Leftrightarrow y = {3^{x - 2}}\).

Mà \({2022^{ - 1}} \le y \le 2022 \Rightarrow {2022^{ - 1}} \le {3^{x - 2}} \le 2022\)\( \Leftrightarrow - {\log _3}2022 \le x - 2 \le {\log _3}2022\)

\( \Leftrightarrow - 4,93 \le x \le 8,932\) và \(x \in \mathbb{Z}\) có 13 giá trị nguyên \(x\) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 13 cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 13.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức \(G\left( x \right) = 0,035{x^2}\left( {15 - x} \right),\)trong đó \[x\] là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là

A. \(x = 8.\)

B. \(x = 5.\)

C. \(x = 15.\)

D. \(x = 10.\)

Lời giải

Huyết áp giảm nhiều nhất thì hàm số \(G\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^2}\left( {15 - x} \right)\) trên \[\left( {0\,;\,\,15} \right)\], có \[h'\left( x \right) = 30x - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 10}\end{array}} \right.\].

Dựa vào BBT của \(h\left( x \right)\), ta thấy \(h\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = 10.\) Chọn D.

Câu 2

Một phần sân trường được định vị bởi các điểm \[A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\] như hình vẽ.

Bước đầu chúng được lấy "thăng bằng" đế có cùng độ cao, biết \[ABCD\] là hình thang vuông ở \(A\) và \(B\) với độ dài \(AB = 25\,\,m,\,\,AD = 15\,\,m,\,\,BC = 18\,\,{\rm{m}}.\) Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở \(C\) nên người ta lấy độ cao ở các điểm \[B,\,\,C,\,\,D\] xuống thấp hơn so với độ cao ở \(A\) là \[10\,\,{\rm{cm}},\,\,a\,\,{\rm{cm}},\,\,6\,\,{\rm{cm}}\] tương ứng. Giá trị của \(a\) là số nào sau đây?

A. \(15,7\;\,{\rm{cm}}.\)

B. \(17,2\,\;{\rm{cm}}.\)

C. \(18,1\;\,{\rm{cm}}.\)

D. \(17,5\,\;{\rm{cm}}.\)

Lời giải

Media VietJack

Chọn hệ trục toạ độ \[Oxyz\] sao cho \(O \equiv A\), tia \(Ox \equiv AD\), tia \(Oy \equiv AB.\)

Khi đó, \[A\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right)\,;\,\,B\left( {0\,;\,\,2\,\,500\,;\,\,0} \right)\,;\,\]\[\,C\left( {1\,\,800\,;\,\,2500\,;\,\,0} \right)\,;\]\[D\left( {1500\,\,;\,\,0\,;\,\,0} \right).\]

Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm xuống \[B,\,\,C,\,\,D\] thấp hơn so với độ cao ở \(A\) là \[10\,\,{\rm{cm}},\,\,a\,\,{\rm{cm}},\,\,6\,\,{\rm{cm}}\] tương ứng ta có các điểm mới \[B'\left( {0\,;\,\,2\,\,500\,;\,\, - 10} \right)\,;\,\,C'\left( {1800\,;\,\,2500\,;\,\, - a} \right)\,;\,\,\]\[D'\left( {1500\,;\,\,0\,;\,\, - 6} \right).\]

Theo bài ra có \(A,\,\,B',\,\,C',\,\,D'\) đồng phẳng.

Phương trình mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right):x + y + 250z = 0.\)

Do \[C'\left( {1\,\,800\,;\,\,2500\,;\,\, - a} \right) \in \left( {AB'D'} \right)\] nên có \(1800 + 2500 - 250a = 0 \Rightarrow a = 17,2.\)

Vậy \(a = 17,2\;\,{\rm{cm}}.\)Chọn B.

Câu 3