Trong tập hợp các số phức cho phương trình \({z^3} + \left( {1 - 2m} \right){z^2} + 2mz + 4m = 0\) với tham số \(m \in \mathbb{R}.\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của \(m\) để phương trình có 3 nghiệm phân biệt và 3 điểm biểu diễn 3 nghiệm đó tạo thành tam giác đều. Tổng tất cả các phần tử của tập \(S\) bằng

Ta có \[{z^3} + \left( {1 - 2m} \right){z^2} + 2mz + 4m = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - 2mz + 4m} \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z =  - 1}\\{{z^2} - 2mz + 4m = 0}\end{array}} \right.\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow (1)\) có hai nghiệm phức phân biệt (phần ảo khác 0\(){z_1},{z_2}\) thoả mãn:

\(\left| {{z_1} + 1} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \Leftrightarrow {\left| {{z_1} + 1} \right|^2} = {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}{m^2} - 4m < 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{z_1} + 1} \right)\left( {\overline {{z_1}}  + 1} \right) = 4{z_1}{z_2} - {{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2}}\\{0 < m < 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{z_1} + 1} \right)\left( {{z_2} + 1} \right) = 4{z_1}{z_2} - {{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2}}\\{0 < m < 4}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} + {z_2} + 1 = 3{z_1}{z_2} - {{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2}}\\{0 < m < 4}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m + 1 = 12m - 4{m^2}}\\{0 < m < 4}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{m^2} - 10m + 1 = 0}\\{0 < m < 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = \frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{4}.\)
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập \(S\) bằng \(\frac{5}{2}.\)

Đáp án: \(\frac{5}{2}.\)