Câu hỏi:

26/06/2024 270

Có bao nhiêu số thực \(a\) để \(\int\limits_0^1 {\frac{x}{{a + {x^2}}}{\rm{d}}x} \; = 1\)?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Điều kiện tích phân tồn tại là \(a + {x^2} \ne 0,\forall x \in \left[ {0\,;\,\,1} \right] \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a <  - 1}\\{a > 0}\end{array}} \right.\)

Đặt \(t = a + {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx.\)

Khi đó \(\int\limits_0^1 {\frac{x}{{a + {x^2}}}{\rm{d}}x} \; = \frac{1}{2}\int\limits_0^{1 + a} {\frac{{dt}}{t}}  = \left. {\frac{1}{2}\left( {\ln \left| t \right|} \right)} \right|_a^{1 + a} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + a}}{a}} \right| = 1\)

\( \Leftrightarrow \ln \left| {\frac{{1 + a}}{a}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{1 + a}}{a} = {e^2}\\\frac{{1 + a}}{a} =  - {e^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + a = {e^2}a\\1 + a =  - {e^2}a\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{{e^2} - 1}}\\a = \frac{{ - 1}}{{{e^2} + 1}}\end{array} \right.\).

So sánh điều kiện, ta có \(a = \frac{1}{{{e^2} - 1}}.\) Chọn B.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R},\,\,c \ne 0} \right).\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{a}{c}.\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có đường tiệm cận đứng là \(x =  - \frac{d}{c}.\)

Theo bài ra, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{c} = 3}\\{ - \frac{d}{c} =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3c}\\{d = 2c}\end{array}} \right.} \right.\) (1)

Điểm \(\left( { - 1\,;\,\,7} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(f(x) \Rightarrow \frac{{ - a + b}}{{ - c + d}} = 7\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{ - 3c + b}}{{ - c + 2c}} = 7 \Leftrightarrow b = 10c.\)

Vậy \(\frac{{2a + 3b + 4c + d}}{{7c}} = \frac{{2 \cdot (3c) + 3 \cdot (10c) + 4c + 2c}}{{7c}} = 6.\) Chọn C.

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3\,;\,\,3\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1\,;\,\,3\,;\,\,1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3\,;\,\, - 12\,;\,\,9} \right)\) ; \(\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD}  = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 12} \right) \cdot 3 + 9 \cdot 1 =  - 24\).

Do đó \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}\left| { - 24} \right| = 4\). Chọn D.

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP