Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {\log _2^2\left( {4x} \right) - 3{{\log }_{\sqrt 2 }}x - 7} \right] \cdot \sqrt {{3^x} - 3 \cdot {2^{x - 1}}}  \le 0\)?

ĐKХĐ: \(x > 0\,;\,\,{3^x} - 3 \cdot {2^{x - 1}} \ge 0\)

• TH1: \({3^x} - {3.2^{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow {3^x} = \frac{3}{2}{.2^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = 1\) (thỏa mãn)

• TH2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^x} - {{3.2}^{x - 1}} > 0}\\{\log _2^2\left( {4x} \right) - 3{{\log }_{\sqrt 2 }}x - 7 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1}\\{{{\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)}^2} - 6{{\log }_2}x - 7 \le 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1}\\{  \log _2^2x - 2 {{\log }_2}x - 3 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1}\\{ - 1 \le  {{\log }_2}x \le 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1}\\{\frac{1}{2} \le x \le 8}\end{array} \Leftrightarrow 1 < x \le 8.} \right.} \right.} \right.\)

Từ hai trường hợp, ta suy ra \[x \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\, \ldots \,;\,\,8} \right\}.\]

Vậy có 8 số nguyên \(x\) thỏa mãn đề bài. Chọn A.