Câu hỏi:

26/06/2024 113

Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(M\left( {3\,;\,\,2\,;\,\,1} \right).\) Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ \[Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\] lần lượt tại các điểm \[A,\,\,B,\,\,C\] không trùng với gốc tọa độ sao cho \(M\) là trực tâm tam giác \[ABC.\] Mặt phẳng nào dưới đây song song với \((P)\)?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Gọi \[A\left( {a\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0\,;\,\,b\,;\,\,0} \right),\,\,C\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,c} \right)\]

Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1(a.b.c \ne 0)\)

Vì \(M \in (P)\) nên \(\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\).

Ta có: \[\overrightarrow {MA}  = \left( {a - 3\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {MB}  = \left( { - 3\,;\,\,b - 2\,;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {0\,;\,\, - b\,;\,\,c} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - a\,;\,\,0\,;\,\,c} \right).\]

Vì \(M\) là trực tâm tam giác ABC nên: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0}\\{\overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2b - c = 0}\\{3a - c = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2b = c}\\{3a = c}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Tử (1) và (2) suy ra \(a = \frac{{14}}{3}\,;\,\,b = \frac{{14}}{2}\,;\,\,c = 14.\)

Khi đó phương trình \((P):3x + 2y + z - 14 = 0\).

Vật mặt phẳng song song với \((P)\) là: \(3x + 2y + z + 14 = 0.\) Chọn A.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R},\,\,c \ne 0} \right).\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{a}{c}.\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có đường tiệm cận đứng là \(x =  - \frac{d}{c}.\)

Theo bài ra, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{c} = 3}\\{ - \frac{d}{c} =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3c}\\{d = 2c}\end{array}} \right.} \right.\) (1)

Điểm \(\left( { - 1\,;\,\,7} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(f(x) \Rightarrow \frac{{ - a + b}}{{ - c + d}} = 7\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{ - 3c + b}}{{ - c + 2c}} = 7 \Leftrightarrow b = 10c.\)

Vậy \(\frac{{2a + 3b + 4c + d}}{{7c}} = \frac{{2 \cdot (3c) + 3 \cdot (10c) + 4c + 2c}}{{7c}} = 6.\) Chọn C.

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3\,;\,\,3\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1\,;\,\,3\,;\,\,1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3\,;\,\, - 12\,;\,\,9} \right)\) ; \(\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD}  = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 12} \right) \cdot 3 + 9 \cdot 1 =  - 24\).

Do đó \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}\left| { - 24} \right| = 4\). Chọn D.

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP