Câu hỏi:

13/07/2024 432

Trong không gian  cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) và điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 2 - 3t}\end{array}} \right.\) Ba điểm \[A,\,\,B,\,\,C\] phân biệt cùng thuộc một mặt cầu sao cho \[MA,\,\,MB,\,\,MC\] là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng \((ABC)\) đi qua \(D\left( {1;\,\,1;\,\,2} \right).\) Giá trị của biểu thức \(T = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2\) bằng\[Oxyz,\]

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(O\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right)\) và bán kính \[R.\]

Gọi \(M\left( {1 + {t_0}\,;\,\,1 + 2{t_0}\,;\,\,2 - 3{t_0}} \right) \in d.\)

Giả sử \(T\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,z} \right) \in (S)\) là một tiếp điểm của tiếp tuyến \[MT\] với mặt cầu \((S).\)

Khi đó: \(O{T^2} + M{T^2} = O{M^2}\)

\( \Leftrightarrow 9 + {\left[ {x - \left( {1 + {t_0}} \right)} \right]^2} + {\left[ {y - \left( {1 + 2{t_0}} \right)} \right]^2} + {\left[ {z - \left( {2 - 3{t_0}} \right)} \right]^2} = {\left( {1 + {t_0}} \right)^2} + {\left( {1 + 2{t_0}} \right)^2} + {\left( {2 - 3{t_0}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 9 + {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x\left( {1 + {t_0}} \right) - 2y\left( {1 + 2{t_0}} \right) - 2z\left( {2 - 3{t_0}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 + {t_0}} \right)x + \left( {1 + 2{t_0}} \right)y + \left( {2 - 3{t_0}} \right)z - 9 = 0.\) (vì \({x^2} + {y^2} + {z^2} = O{T^2} = 9\))

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có dạng: \(\left( {1 + {t_0}} \right)x + \left( {1 + 2{t_0}} \right)y + \left( {2 - 3{t_0}} \right)z - 9 = 0\)

Do \(D\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,2} \right) \in \left( {ABC} \right)\) nên \[1 + {t_0} + 1 + 2{t_0} + 2\left( {2 - 3{t_0}} \right) - 9 = 0 \Leftrightarrow {t_0} =  - 1 \Rightarrow M = \left( {0\,;\,\, - 1\,;\,\,5} \right).\]

Vậy \(T = {0^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {5^2} = 26.\)

Đáp án: 26.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R},\,\,c \ne 0} \right).\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{a}{c}.\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có đường tiệm cận đứng là \(x =  - \frac{d}{c}.\)

Theo bài ra, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{c} = 3}\\{ - \frac{d}{c} =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3c}\\{d = 2c}\end{array}} \right.} \right.\) (1)

Điểm \(\left( { - 1\,;\,\,7} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(f(x) \Rightarrow \frac{{ - a + b}}{{ - c + d}} = 7\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{ - 3c + b}}{{ - c + 2c}} = 7 \Leftrightarrow b = 10c.\)

Vậy \(\frac{{2a + 3b + 4c + d}}{{7c}} = \frac{{2 \cdot (3c) + 3 \cdot (10c) + 4c + 2c}}{{7c}} = 6.\) Chọn C.

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3\,;\,\,3\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1\,;\,\,3\,;\,\,1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3\,;\,\, - 12\,;\,\,9} \right)\) ; \(\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD}  = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 12} \right) \cdot 3 + 9 \cdot 1 =  - 24\).

Do đó \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}\left| { - 24} \right| = 4\). Chọn D.

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP