Câu hỏi:

13/07/2024 158

Người ta thiết kế một chiếc thùng hình trụ có thể tích \[V\] cho trước. Biết rằng chi phí làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và gấp 3 lần chi phí làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho một đơn vị diện tích). Gọi \[h,\,\,R\] lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của thùng. Tỉ số \(\frac{h}{R}\) bằng bao nhiêu để chi phí sản xuất chiếc thùng là thấp nhất?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Giả sử chi phi sản xuất mỗi đơn vị diện tích cho bề mặt xung quanh là \(a\) đồng thì chi phi sản xuất cho mỗi đơn vị diện tích của mặt đáy là \[3a\] đồng.

Chi phí sản xuất thùng là \(S = 2\pi r\ell  \cdot a + 2\pi {r^2}.3a = 2\pi rh \cdot a + 2\pi  \cdot {r^2} \cdot 3a\)

\( = 2a\pi r \cdot \frac{V}{{\pi {r^2}}} + 6a\pi {r^2} = \frac{{2aV}}{r} + 6a\pi {r^2} = 2a\left( {\frac{V}{r} + 3\pi {r^2}} \right) = 2a \cdot f\left( r \right)\).

Chi phí vật liệu sản xuất thùng nhỏ nhất khi \(f\left( r \right) = \frac{V}{r} + 3\pi {r^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(f'\left( r \right) = \frac{{ - V}}{{{r^2}}} + 6\pi r = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{6\pi }}}}\).

Bảng biến thiên

Media VietJack

Vậy \(\min f\left( r \right) \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{6\pi }}}} \Rightarrow \frac{h}{r} = \frac{V}{{\pi {r^3}}} = \frac{V}{{\pi  \cdot {{\left( {\sqrt[3]{{\frac{V}{{6\pi }}}}} \right)}^3}}} = 6.{\rm{ }}\)

Đáp án: 6.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R},\,\,c \ne 0} \right).\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{a}{c}.\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có đường tiệm cận đứng là \(x =  - \frac{d}{c}.\)

Theo bài ra, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{c} = 3}\\{ - \frac{d}{c} =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3c}\\{d = 2c}\end{array}} \right.} \right.\) (1)

Điểm \(\left( { - 1\,;\,\,7} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(f(x) \Rightarrow \frac{{ - a + b}}{{ - c + d}} = 7\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{ - 3c + b}}{{ - c + 2c}} = 7 \Leftrightarrow b = 10c.\)

Vậy \(\frac{{2a + 3b + 4c + d}}{{7c}} = \frac{{2 \cdot (3c) + 3 \cdot (10c) + 4c + 2c}}{{7c}} = 6.\) Chọn C.

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3\,;\,\,3\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1\,;\,\,3\,;\,\,1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3\,;\,\, - 12\,;\,\,9} \right)\) ; \(\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD}  = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 12} \right) \cdot 3 + 9 \cdot 1 =  - 24\).

Do đó \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}\left| { - 24} \right| = 4\). Chọn D.

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP