Câu hỏi:
12/07/2024 88
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Biết hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{137}}{{16}}.\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2020\,;\,\,2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + \,4mx\, - \,5}} \cdot f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\,?\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2020\,;\,\,2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + \,4mx\, - \,5}} \cdot f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\,?\)
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( { - 2x + 4m} \right){e^{ - {x^2} + \,4mx - 5}} \cdot f\left( x \right) + {e^{ - {x^2} + \,4mx - 5}} \cdot f'\left( x \right)\)
\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) = \left[ {\left( { - 2x + 4m} \right) \cdot f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right] \cdot {e^{ - {x^2} + \,4mx\, - \,5}}\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0\,,\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( { - 2x + 4m} \right) \cdot f\left( x \right) + f'\left( x \right) \ge 0\,,\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\) (vì \({e^{ - {x^2} + 4mx - 5}} > 0)\)
\( \Leftrightarrow - 2x + 4m \ge - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}},\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\) (vì \(f\left( x \right) > 0\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R})\)
\( \Leftrightarrow 4m \ge 2x - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}},\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)
Xét \(h\left( x \right) = 2x - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}},\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right).\)
Ta có \[h'\left( x \right) = 2 - \frac{{f''\left( x \right) \cdot f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}}.\]
Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f''\left( x \right) < 0}\\{f\left( x \right) > 0}\end{array},\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{f''\left( x \right) \cdot f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}} < 0,\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)} \right.{\rm{. }}\)
Từ đó suy ra \(h'\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right).\) Vậy hàm số \(h(x)\) đồng biến trên \(\left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)
Ta có bảng biến thiên:
Do đó, điều kiện \((*) \Leftrightarrow 4m \ge h\left( {\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow 4m \ge 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{{f'\left( {\frac{1}{2}} \right)}}{{f\left( {\frac{1}{2}} \right)}} \Leftrightarrow 4m \ge \frac{{225}}{{137}} \Leftrightarrow m \ge \frac{{225}}{{548}}.\)
Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in \mathbb{Z}}\\{m \in \left[ { - 2020\,;\,\,2020} \right]}\end{array} \Rightarrow m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\, \ldots \,;\,\,2020} \right\}} \right..\)
Vậy có 2020 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: 2020.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số Biết rằng đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( { - 1\,;\,\,7} \right)\) và giao điểm hai đường tiệm cận là \(\left( { - 2\,;\,\,3} \right).\) Giá trị của biểu thức \(\frac{{2a + 3b + 4c + d}}{{7c}}\) bằng\(f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R},\,\,c \ne 0} \right).\)
Xem đáp án »
26/06/2024
4,668
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left[ { - 10\,;\,\,10} \right]\] để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2{x^2} + 6x - m - 3}}\) có hai đường tiệm cận đứng?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left[ { - 10\,;\,\,10} \right]\] để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2{x^2} + 6x - m - 3}}\) có hai đường tiệm cận đứng?
Xem đáp án »
13/07/2024
4,115
Câu 3:
Trong không gian \[Oxyz,\] cho bốn điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,0\,;\,\,3} \right),\]\[C\left( { - 2\,;\,\,1\,;\,\,3} \right),\]\[D\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\]. Thể tích khối tứ diện \[ABCD\] bằng
Trong không gian \[Oxyz,\] cho bốn điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,0\,;\,\,3} \right),\]\[C\left( { - 2\,;\,\,1\,;\,\,3} \right),\]\[D\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\]. Thể tích khối tứ diện \[ABCD\] bằng
Xem đáp án »
26/06/2024
3,571
Câu 4:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 20\,;\,\,20} \right]\) để hàm số \(y = - {x^4} + 6{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 3\) có đúng một điểm cực trị?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 20\,;\,\,20} \right]\) để hàm số \(y = - {x^4} + 6{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 3\) có đúng một điểm cực trị?
Xem đáp án »
26/06/2024
1,870
Câu 5:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 5} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 5} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Xem đáp án »
26/06/2024
1,764
Câu 6:
Trong không gian \[Oxyz,\] phương trình mặt cầu đi qua điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,4} \right)\] và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ là
Xem đáp án »
26/06/2024
1,019
Câu 7:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} + 6x\,,\,\,\forall x \in \left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\) và \(f(2) = 12.\) Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F(2) = 6\), khi đó giá trị biểu thức \(F\left( 5 \right) - 4F\left( 3 \right)\) bằng
Xem đáp án »
26/06/2024
853
về câu hỏi!