Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Biết hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{137}}{{16}}.\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2020\,;\,\,2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + \,4mx\, - \,5}} \cdot f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\,?\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2020\,;\,\,2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + \,4mx\, - \,5}} \cdot f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\,?\)
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( { - 2x + 4m} \right){e^{ - {x^2} + \,4mx - 5}} \cdot f\left( x \right) + {e^{ - {x^2} + \,4mx - 5}} \cdot f'\left( x \right)\)
\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) = \left[ {\left( { - 2x + 4m} \right) \cdot f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right] \cdot {e^{ - {x^2} + \,4mx\, - \,5}}\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0\,,\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( { - 2x + 4m} \right) \cdot f\left( x \right) + f'\left( x \right) \ge 0\,,\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\) (vì \({e^{ - {x^2} + 4mx - 5}} > 0)\)
\( \Leftrightarrow - 2x + 4m \ge - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}},\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\) (vì \(f\left( x \right) > 0\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R})\)
\( \Leftrightarrow 4m \ge 2x - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}},\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)
Xét \(h\left( x \right) = 2x - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}},\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right).\)
Ta có \[h'\left( x \right) = 2 - \frac{{f''\left( x \right) \cdot f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}}.\]
Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f''\left( x \right) < 0}\\{f\left( x \right) > 0}\end{array},\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{f''\left( x \right) \cdot f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}} < 0,\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)} \right.{\rm{. }}\)
Từ đó suy ra \(h'\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right).\) Vậy hàm số \(h(x)\) đồng biến trên \(\left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)
Ta có bảng biến thiên:
Do đó, điều kiện \((*) \Leftrightarrow 4m \ge h\left( {\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow 4m \ge 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{{f'\left( {\frac{1}{2}} \right)}}{{f\left( {\frac{1}{2}} \right)}} \Leftrightarrow 4m \ge \frac{{225}}{{137}} \Leftrightarrow m \ge \frac{{225}}{{548}}.\)
Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in \mathbb{Z}}\\{m \in \left[ { - 2020\,;\,\,2020} \right]}\end{array} \Rightarrow m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\, \ldots \,;\,\,2020} \right\}} \right..\)
Vậy có 2020 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: 2020.
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R},\,\,c \ne 0} \right).\)
Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{a}{c}.\)
Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có đường tiệm cận đứng là \(x = - \frac{d}{c}.\)
Theo bài ra, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{c} = 3}\\{ - \frac{d}{c} = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3c}\\{d = 2c}\end{array}} \right.} \right.\) (1)
Điểm \(\left( { - 1\,;\,\,7} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(f(x) \Rightarrow \frac{{ - a + b}}{{ - c + d}} = 7\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{ - 3c + b}}{{ - c + 2c}} = 7 \Leftrightarrow b = 10c.\)
Vậy \(\frac{{2a + 3b + 4c + d}}{{7c}} = \frac{{2 \cdot (3c) + 3 \cdot (10c) + 4c + 2c}}{{7c}} = 6.\) Chọn C.
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 3\,;\,\,3\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AD} = \left( { - 1\,;\,\,3\,;\,\,1} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3\,;\,\, - 12\,;\,\,9} \right)\) ; \(\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 12} \right) \cdot 3 + 9 \cdot 1 = - 24\).
Do đó \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}\left| { - 24} \right| = 4\). Chọn D.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.