Câu hỏi:
12/07/2024 2,340
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1).
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1).
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.
Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 CTST Bài tập cuối chương 5 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là:
\(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1\) Û x + y + z – 1 = 0.
Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta được:
−2 + 1 −1 −1 = −3 ≠ 0 nên D Ï (ABC).
Do đó A, B, C, D không đồng phẳng.
Suy ra A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.
b) Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng CD nhận \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
\[\cos \left( {AB,CD} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 1.1 + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\].
Suy ra (AB, CD) = 45°.
c) Có \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)\), \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng (BCD) đi qua B(0; 1; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x – 2(y – 1) – 2z = 0 Û x – 2y – 2z + 2 = 0.
Đường cao của hình chóp A.BCD chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Ta có \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có A(70; 0; 0), B(70; 0; −60), C(70; 80; 0), D(50; 0; 0).
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 60} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0;80;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4800;0;0} \right)\).
Mặt phẳng (ABC) đi qua A(70; 0; 0), nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{{4800}}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;0;0} \right)\) có phương trình là x – 70 = 0.
Có \(\overrightarrow {AC} = \left( {0;80;0} \right)\), \(\overrightarrow {AD} = \left( { - 20;0;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {0;0;1600} \right)\).
Mặt phẳng (ACD) đi qua A(70; 0; 0), nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{{1600}}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\) có phương trình là z = 0.
c) Đường thẳng AC đi qua A(70; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow a = \frac{1}{{80}}\overrightarrow {AC} = \left( {0;1;0} \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 70\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\).
d) \(d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 70} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 70\).
Lời giải
a) Mặt phẳng đoạn chắn của (O'AC) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{6} + \frac{z}{4} = 1\) Û 6x + 2y + 3z – 12 = 0.
b) Đường thẳng CO' đi qua C(0; 6; 0) nhận \(\frac{1}{2}\overrightarrow {CO'} = \left( {0; - 3;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 6 - 3t\\z = 2t\end{array} \right.\).
c) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có tâm I là trung điểm của O'B và bán kính IO'.
Có B(2; 6; 0), O'(0; 0; 4). Suy ra I(1; 3; 2) và \(IO' = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {14} \).
Phương trình mặt cầu là: (x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 2)2 = 14.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận