Câu hỏi:
12/07/2024 2,353
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1).
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1).
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.
Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 CTST Bài tập cuối chương 5 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là:
\(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1\) Û x + y + z – 1 = 0.
Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta được:
−2 + 1 −1 −1 = −3 ≠ 0 nên D Ï (ABC).
Do đó A, B, C, D không đồng phẳng.
Suy ra A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.
b) Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng CD nhận \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
\[\cos \left( {AB,CD} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 1.1 + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\].
Suy ra (AB, CD) = 45°.
c) Có \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)\), \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng (BCD) đi qua B(0; 1; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x – 2(y – 1) – 2z = 0 Û x – 2y – 2z + 2 = 0.
Đường cao của hình chóp A.BCD chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Ta có \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có A(70; 0; 0), B(70; 0; −60), C(70; 80; 0), D(50; 0; 0).
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 60} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0;80;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4800;0;0} \right)\).
Mặt phẳng (ABC) đi qua A(70; 0; 0), nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{{4800}}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;0;0} \right)\) có phương trình là x – 70 = 0.
Có \(\overrightarrow {AC} = \left( {0;80;0} \right)\), \(\overrightarrow {AD} = \left( { - 20;0;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {0;0;1600} \right)\).
Mặt phẳng (ACD) đi qua A(70; 0; 0), nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{{1600}}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\) có phương trình là z = 0.
c) Đường thẳng AC đi qua A(70; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow a = \frac{1}{{80}}\overrightarrow {AC} = \left( {0;1;0} \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 70\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\).
d) \(d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 70} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 70\).
Lời giải
a) Mặt phẳng đoạn chắn của (O'AC) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{6} + \frac{z}{4} = 1\) Û 6x + 2y + 3z – 12 = 0.
b) Đường thẳng CO' đi qua C(0; 6; 0) nhận \(\frac{1}{2}\overrightarrow {CO'} = \left( {0; - 3;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 6 - 3t\\z = 2t\end{array} \right.\).
c) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có tâm I là trung điểm của O'B và bán kính IO'.
Có B(2; 6; 0), O'(0; 0; 4). Suy ra I(1; 3; 2) và \(IO' = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {14} \).
Phương trình mặt cầu là: (x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 2)2 = 14.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận