Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1).

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.

a) Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là:

\(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1\) Û x + y + z – 1 = 0.

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta được:

−2 + 1 −1 −1 = −3 ≠ 0 nên D Ï (ABC).

Do đó A, B, C, D không đồng phẳng.

Suy ra A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng CD nhận \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

\[\cos \left( {AB,CD} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 1.1 + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\].

Suy ra (AB, CD) = 45°.

c) Có \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)\), \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).

Mặt phẳng (BCD) đi qua B(0; 1; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x – 2(y – 1) – 2z = 0 Û x – 2y – 2z + 2 = 0.

Đường cao của hình chóp A.BCD chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Ta có \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\).