Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng.

a) $\frac{{\left(x-2\right)}^3}{x^2-2x}=\frac{{\left(x-2\right)}^2}{x};$

b) $\frac{1-x}{-5x+1}=\frac{x-1}{5x-1}.$ 

a) Ta có: 27x³ – 1 = (3x)³ – 1 = (3x – 1)(9x² + 3x + 1).

Do đó $\frac{9x^2+3x+1}{27x^3-1}=\frac{9x^2+3x+1}{\left(3x-1\right)\left(9x^2+3x+1\right)}=\frac{1}{3x-1}.$

Tương tự, x² – 4x = x(x – 4) và 16 – x² = (4 – x)(4 + x) nên

$\frac{x^2-4x}{16-x^2}=\frac{x\left(x-4\right)}{\left(4-x\right)\left(4+x\right)}=\frac{-x\left(4-x\right)}{\left(4-x\right)\left(4+x\right)}=\frac{-x}{4+x}.$

b) Mẫu số chung của hai phân thức nhận được ở câu a là (3x – 1)(4 + x).

Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a, ta được:

$\frac{1}{3x-1}=\frac{4+x}{\left(3x-1\right)\left(4+x\right)}$ và $\frac{-x}{4+x}=\frac{-x\left(3x-1\right)}{\left(3x-1\right)\left(4+x\right)}.$

a) Phân tích mẫu thức của P thành nhân tử, ta được x² – 1 = (x – 1)(x + 1).

Chia cả tử và mẫu của P cho x + 1 ta được phân thức rút gọn của P là $Q=\frac{1}{x-1}.$

b) Thay x = 11 vào phân thức P ta được giá trị $\frac{11+1}{{11}^2-1}=\frac{12}{120}=\frac{1}{10}.$

Thay x = 11 vào phân thức Q ta được giá trị $\frac{1}{11-1}=\frac{1}{10}.$

Ta thấy hai kết quả bằng nhau.