Câu hỏi:
25/07/2024 2,208
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm. Lấy các điểm C, D thuộc đường tròn (O) sao cho C nằm giữa A và D, O không thuộc AD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD, tia OI cắt AB tại E (Hình 16). Chứng minh:
a) EB . EA = EI . EO;
b) AB2 = AC . AD.
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn với B là tiếp điểm. Lấy các điểm C, D thuộc đường tròn (O) sao cho C nằm giữa A và D, O không thuộc AD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD, tia OI cắt AB tại E (Hình 16). Chứng minh:
a) EB . EA = EI . EO;
b) AB2 = AC . AD.
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét ∆OCD có OC = OD nên ∆OCD cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI của tam giác cũng đồng thời là đường cao, hay
Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) với B là tiếp điểm nên OB ⊥ AB. Suy ra
Xét ∆EOB và ∆EAI có:
và là góc chung
Do đó ∆EOB ᔕ ∆EAI (g.g)
Suy ra hay EB . EA = EI . EO.
b) Gọi R là bán kính đường tròn (O).
Xét ∆OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có: OA2 = OB2 + AB2
Suy ra AB2 = OA2 ‒ OB2 = OA2 ‒ R2.
Mặt khác, ta có: AC.AD = (AI ‒ CI)(AI + DI)
Mà CI = DI (do I là trung điểm của CD)
Suy ra: AC.AD = (AI ‒ CI)(AI + CI) = AI2 ‒ CI2
Xét ∆OAI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có: OA2 = OI2 + AI2
Suy ra AI2 = OA2 ‒ OI2.
Xét ∆OCI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có: OC2 = OI2 + CI2
Suy ra CI2 = OC2 ‒ OI2.
Do đó AC.AD = (OA2 ‒ OI2) ‒ (OC2 ‒ OI2)
= OA2 ‒ OI2 ‒ OC2 + OI2
= OA2 – OC2 = OA2 ‒ R2.
Do đó AB2 = AC. AD (vì cùng bằng OA2 ‒ R2).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao cho OA = 2R. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O; R) với B là tiếp điểm (Hình 14). Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.
Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao cho OA = 2R. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O; R) với B là tiếp điểm (Hình 14). Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.
Xem đáp án »
24/07/2024
2,459
Câu 2:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy điểm F thuộc đoạn thẳng OB, tia CF cắt đường tròn (O) tại D. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB tại E (Hình 15). Chứng minh EF = ED.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy điểm F thuộc đoạn thẳng OB, tia CF cắt đường tròn (O) tại D. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB tại E (Hình 15). Chứng minh EF = ED.
Xem đáp án »
25/07/2024
1,749
Câu 3:
Cho đường thẳng a và điểm O với khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là 1 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 3 cm.
a) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O).
b) Gọi A và B là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Cho đường thẳng a và điểm O với khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là 1 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 3 cm.
a) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O).
b) Gọi A và B là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Xem đáp án »
24/07/2024
1,634
Câu 4:
Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD, lấy điểm H sao cho BH = AB. Qua điểm H kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O.
a) So sánh OA, OH, HD.
b) Xác định vị trí tương đối của BD và đường tròn (O; OA).
Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD, lấy điểm H sao cho BH = AB. Qua điểm H kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O.
a) So sánh OA, OH, HD.
b) Xác định vị trí tương đối của BD và đường tròn (O; OA).
Xem đáp án »
25/07/2024
1,376
Câu 5:
Cho đường tròn (O; 4 cm) và đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là OH = 5 cm. Đường thẳng OH cắt đường tròn (O) tại A. Gọi B là trung điểm của đoạn thẳng OA. Trên đường thẳng d, lấy một điểm I (khác H), kẻ tiếp tuyến IC của đường tròn (O) với C là tiếp điểm (Hình 17). Chứng minh tam giác IBC cân tại I.
Cho đường tròn (O; 4 cm) và đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là OH = 5 cm. Đường thẳng OH cắt đường tròn (O) tại A. Gọi B là trung điểm của đoạn thẳng OA. Trên đường thẳng d, lấy một điểm I (khác H), kẻ tiếp tuyến IC của đường tròn (O) với C là tiếp điểm (Hình 17). Chứng minh tam giác IBC cân tại I.
Xem đáp án »
25/07/2024
992
Câu 6:
Cho và điểm O’ thuộc tia Ox sao cho OO’ = 4 cm.
a) Tính khoảng cách từ điểm O’ đến tia Oy.
b) Xác định vị trí tương đối của tia Oy và đường tròn (O’; R) tuỳ theo độ dài R với R ≤ 4 cm.
Cho và điểm O’ thuộc tia Ox sao cho OO’ = 4 cm.
a) Tính khoảng cách từ điểm O’ đến tia Oy.
b) Xác định vị trí tương đối của tia Oy và đường tròn (O’; R) tuỳ theo độ dài R với R ≤ 4 cm.
Xem đáp án »
24/07/2024
446
về câu hỏi!