Câu hỏi:

02/08/2024 5,092

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD của đường tròn (M) lần lượt tại C, D.

a) Chứng minh AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O).

b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Do AC, AH là hai tiếp tuyến của đường tròn (M) nên AC = AH.

Tương tự, ta chứng minh được BD = BH.

Do đó AC + BD = AH + BH = AB (không đổi).

b) Do AC, AH là hai tiếp tuyến của đường tròn (M) nên MA là tia phân giác của góc CMH hay AMC^=AMH^.

Tương tự, ta chứng minh được  BMD^=BMH^.

Xét đường tròn (O) đường kính AB có AMB^=90°  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mà AMH^+BMH^=AMB^=90°

Suy ra CMD^=AMC^+AMH^+BMH^+BMD^=2AMH^+BMH^=290°=180°

Do đó ba điểm C, M, D thẳng hàng.

Do tam giác OBM cân tại O (do OM = OB) nên OBM^=OMB^.

Suy ra 2OBM^+BOM^=180°.

Ta lại có: AOM^+BOM^=180°  nên AOM^=2OBM^. 

Lại có BM là tia phân giác của góc ABD (do hai tiếp tuyến BD, BH của (O) cắt nhau tại B) hayABD^=2OBM^.

Suy ra  AOM^=ABD^.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên OM // BD.

Mặt khác, BD CD (do BD CM) nên CD vuông góc với OM tại M thuộc đường tròn (O).

Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Media VietJack

Gọi E là giao điểm của MN và OO’.

Ta có: OM = ON = R (bán kính đường tròn (O; R)) và O’M = O’N = R (bán kính đường tròn (O’; R)). Suy ra OM = ON = O’M = O’N, nên OMO’N là hình thoi.

Do đó hai đường chéo MN và OO’ vuông góc với nhau tại trung điểm E của mỗi đường.

Suy ra OE=12=1224=12  cm  và ME=12MN=1210=5  cm.

Xét ∆OME vuông tại E, theo định lí Pythagore, ta có:

OM2 = OE2 + ME2

Suy ra OM=OE2+ME2=122+52=169=13  cm.

Vậy R = 13 cm.

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có: AB = AC’ + BC’ = 10 + 15 = 25 cm;

               AC = AB’ + CB’ = 10 + 15 = 25 cm.

Do đó AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Mặt khác, BA’ = CA’ = 15 cm nên A’ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra AA’ là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên AA’ vuông góc với BC tại điểm A’ nằm trên cả hai đường tròn (B) và (C).

Vậy AA’ là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C).

b) Gọi H là giao điểm của AA’B’C’.

Xét ∆ABA’ vuông tại A’, theo định lí Pythagore, ta có: AB2 = A’A2 + A’B2

Suy ra A'A=AB2A'B2=252152=400=20 cm.

Ta có: BC = BA’ + CA’ = 15 + 15 = 30 cm.

Tam giác ABCAC'AB=1025=25  và AB'AC=1025=25

Suy ra AC'AB=AB'AC  nên B’C’ // BC (định lí Thalès đảo)

Do đó, B'C'BC=AB'AC=25  (hệ quả định lí Thalès)

Nên B'C'=25BC=2530=12 cm.

Tam giác ACA’HB’ // CA’ nên AHAA'=AB'AC=25  (hệ quả định lí Thalès)

Suy ra AH=25AA'=2520=8 cm.

Ta có AA’ BC và B’C’ // BC nên AH B’C’.

Vậy diện tích tam giác AB’C’ là: 12AHB'C'=12812=48 (cm2).

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay