Câu hỏi:

02/08/2024 2,072

Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho BAD^=CAM^.

a) Chứng minh ADB^=CDM^.

b) Gọi E là giao điểm của tia OM và cung BC. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE theo R, biết BC=R2.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Ta có BAD^=CAM^  nên BAD^+DAM^=CAM^+DAM^  hay BAM^=DAC^.

Xét đường tròn (O) có ABM^=ADC^  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Xét ∆ABM và ∆ADC có: BAM^=DAC^  và ABM^=ADC^

Do đó ABM ∆ADC (g.g).

Suy ra ABAD=BMDC  (tỉ số các cạnh tương ứng)

Mà BM = CM (do M là trung điểm của BC)

Nên ABAD=BMDC=CMCD  hay ABCM=ADCD.

Xét ∆ABD và ∆CMD có:

ABCM=ADCD BAD^=MCD^  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD của đường tròn (O))

Do đó ∆ABD ∆CMD (g.g).

Suy ra ADB^=CDM^  (hai góc tương ứng).

b) Do M là trung điểm của BC nên MC=BC2=R22.

Xét ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao của tam giác, do đó OMC^=90°.

Xét ∆OCM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có: OC2 = OM2 + MC2

Suy ra OM=OC2MC2=R2R222=R22=R22.

Do đó OM = MC.

Vì vậy, tam giác OCM vuông cân tại M. Suy ra COE^=45°  hay số đo của cung nhỏ CE bằng 45°.

Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE là: S=πR245360=πR28 (đơn vị diện tích).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Media VietJack

Gọi E là giao điểm của MN và OO’.

Ta có: OM = ON = R (bán kính đường tròn (O; R)) và O’M = O’N = R (bán kính đường tròn (O’; R)). Suy ra OM = ON = O’M = O’N, nên OMO’N là hình thoi.

Do đó hai đường chéo MN và OO’ vuông góc với nhau tại trung điểm E của mỗi đường.

Suy ra OE=12=1224=12  cm  và ME=12MN=1210=5  cm.

Xét ∆OME vuông tại E, theo định lí Pythagore, ta có:

OM2 = OE2 + ME2

Suy ra OM=OE2+ME2=122+52=169=13  cm.

Vậy R = 13 cm.

Lời giải

Media VietJack

a) Do AC, AH là hai tiếp tuyến của đường tròn (M) nên AC = AH.

Tương tự, ta chứng minh được BD = BH.

Do đó AC + BD = AH + BH = AB (không đổi).

b) Do AC, AH là hai tiếp tuyến của đường tròn (M) nên MA là tia phân giác của góc CMH hay AMC^=AMH^.

Tương tự, ta chứng minh được  BMD^=BMH^.

Xét đường tròn (O) đường kính AB có AMB^=90°  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mà AMH^+BMH^=AMB^=90°

Suy ra CMD^=AMC^+AMH^+BMH^+BMD^=2AMH^+BMH^=290°=180°

Do đó ba điểm C, M, D thẳng hàng.

Do tam giác OBM cân tại O (do OM = OB) nên OBM^=OMB^.

Suy ra 2OBM^+BOM^=180°.

Ta lại có: AOM^+BOM^=180°  nên AOM^=2OBM^. 

Lại có BM là tia phân giác của góc ABD (do hai tiếp tuyến BD, BH của (O) cắt nhau tại B) hayABD^=2OBM^.

Suy ra  AOM^=ABD^.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên OM // BD.

Mặt khác, BD CD (do BD CM) nên CD vuông góc với OM tại M thuộc đường tròn (O).

Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay