Cho nửa đường tròn tâm O đường kính A B. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC. a) Chứng minh BAC^=COD^=ABC^=ACO^. b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh AM > CM và COM^=2CAM^. c) Khi...

a) Xét đường tròn (O) đường kính có C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC nên ⦁ sđAC⏜=sđBC⏜=12sđAB⏜=12⋅180°=90°; ⦁sđCD⏜=sđAD⏜=12sđAC⏜=12⋅90°=45°. Do đó BAC^=12sđBC⏜=12⋅90°=45°;COD^=sđCD⏜=45°;ABC^=12sđAC⏜=12⋅90°=45°;AOC^=sđAC⏜=90°. Xét ∆AOC cân tại O (do OA = OC) có AOC^=90° nên ∆AOC vuông cân tại O, suy ra ACO^=45°. Vậy BAC^=COD^=ABC^=ACO^=45°. b) Do M thuộc cung nhỏ CD nên sđAM⏜=sđAD⏜+sđDM⏜=45°+sđDM⏜>45° và sđCM⏜<sđCD⏜=45°. Suy ra sđAM⏜>sđCM⏜ 1 Mà ACM^, CAM^ lần lượt là góc nội tiếp chắn cung AM và cung CM của đường tròn (O) nên ACM^=12sđAM⏜, CAM^=12sđCM⏜ 2 Từ (1) và (2) suy ra ACM^>CAM^. Tam giác ACM có ACM^>CAM^ nên AM > CM. Xét đường tròn (O), ta có: COM^=2CAM^ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CM). c) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AC với OM và OD, kẻ MN vuông góc với AC tại N. Diện tích của tam giác MAC là: S=12⋅AC⋅MN. Do đó S lớn nhất khi MN lớn nhất do AC không đổi. Tam giác OAC cân tại O có OD là đường phân giác nên đồng thời là đường cao của tam giác, do đó OK ≤ OI. Ta cũng có MN ≤ MI Suy ra: OK + MN ≤ OI + MI = OM và OM = OD = OK + DK Do đó MN ≤ DK. Do DK không đổi nên MN lớn nhất khi MN = DK hay M là điểm chính giữa của cung AC. Vậy diện tích của tam giác MAC lớn nhất bằng 12⋅AC⋅DK khi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.

Câu hỏi:

02/08/2024 1,017

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính A B. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC.

a) Chứng minh $\hat{B A C} = \hat{C O D} = \hat{A B C} = \hat{A C O} .$

b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh AM > CM và $\hat{C O M} = 2 \hat{C A M} .$

c) Khi M di chuyền trên cung nhỏ AC, tìm vị trí của điểm M để diện tích của tam giác MAC lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh Diều BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Xét đường tròn (O) đường kính có C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC nên

⦁ $sđ \overset{⏜}{A C} = sđ \overset{⏜}{B C} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A B} = \frac{1}{2} \cdot 180 ° = 90 °;$

⦁ $sđ \overset{⏜}{C D} = sđ \overset{⏜}{A D} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A C} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 ° .$

Do đó $\hat{B A C} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{B C} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 °;$ $\hat{C O D} = sđ \overset{⏜}{C D} = 45 °; \hat{A B C} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A C} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 °; \hat{A O C} = sđ \overset{⏜}{A C} = 90 ° .$

Xét ∆AOC cân tại O (do OA = OC) có $\hat{A O C} = 90 °$ nên ∆AOC vuông cân tại O, suy ra $\hat{A C O} = 45 ° .$

Vậy $\hat{B A C} = \hat{C O D} = \hat{A B C} = \hat{A C O} = 45 ° .$

b) Do M thuộc cung nhỏ CD nên $sđ \overset{⏜}{A M} = sđ \overset{⏜}{A D} + sđ \overset{⏜}{D M} = 45 ° + sđ \overset{⏜}{D M} > 45 °$ và $sđ \overset{⏜}{C M} < sđ \overset{⏜}{C D} = 45 ° .$

Suy ra $sđ \overset{⏜}{A M} > sđ \overset{⏜}{C M} (1)$

Mà $\hat{A C M}, \hat{C A M}$ lần lượt là góc nội tiếp chắn cung AM và cung CM của đường tròn (O) nên $\hat{A C M} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A M}, \hat{C A M} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{C M} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{A C M} > \hat{C A M} .$

Tam giác ACM có $\hat{A C M} > \hat{C A M}$ nên AM > CM.

Xét đường tròn (O), ta có: $\hat{C O M} = 2 \hat{C A M}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CM).

Media VietJack

Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AC với OM và OD, kẻ MN vuông góc với AC tại N.

Diện tích của tam giác MAC là: $S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot M N .$

Do đó S lớn nhất khi MN lớn nhất do AC không đổi.

Tam giác OAC cân tại O có OD là đường phân giác nên đồng thời là đường cao của tam giác, do đó OK ≤ OI.

Ta cũng có MN ≤ MI

Suy ra: OK + MN ≤ OI + MI = OM và OM = OD = OK + DK

Do đó MN ≤ DK.

Do DK không đổi nên MN lớn nhất khi MN = DK hay M là điểm chính giữa của cung AC.

Vậy diện tích của tam giác MAC lớn nhất bằng $\frac{1}{2} \cdot A C \cdot D K$ khi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R) cắt nhau tại hai điểm M, N với OO’ = 24 cm và MN = 10 cm (Hình 52). Khi đó, R bằng:

A. 26 cm.

B. 13 cm.

C. 14 cm.

D. 34 cm.

Xem đáp án » 02/08/2024 3,293

Câu 2:

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD của đường tròn (M) lần lượt tại C, D.

a) Chứng minh AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O).

b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xem đáp án » 02/08/2024 2,788

Câu 3:

Trong 20 giây, bánh xe của một chiếc xe máy quay được 80 vòng. Độ dài bán kính của bánh xe đó là 25 cm. Khi đó, quãng đường xe máy đi được trong 3 phút là:

A. 36 000π m.

B. 360π m.

C. 18 000π m.

D. 180π m.

Xem đáp án » 02/08/2024 1,098

Câu 4:

Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho $\hat{B A D} = \hat{C A M} .$

a) Chứng minh $\hat{A D B} = \hat{C D M} .$

b) Gọi E là giao điểm của tia OM và cung BC. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE theo R, biết $B C = R \sqrt{2} .$

Xem đáp án » 02/08/2024 1,043

Câu 5:

Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn sao cho độ dài cung nhỏ AB bằng $\frac{5 π R}{6} .$

a) Xác định điểm C trên cung lớn AB sao cho khi kẻ CH vuông góc với AB tại H thì AH = CH.

b) Tính độ dài các cung AC, BC theo R.

c) Kẻ OK vuông góc với AB tại K, tia OK cắt đường tròn (O) tại E. Tính diện tích hình quạt tròn EOB (giới hạn bởi cung nhỏ BE và hai bán kính OE, OB ) theo R.

d) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích hình quạt tròn BOC (giới hạn bởi cung nhỏ BC và hai bán kính OB, OC) và diện tích hình quạt tròn AOC (giới hạn bởi cung nhỏ AC và hai bán kính OA, OC).

Xem đáp án » 02/08/2024 940

Câu 6:

Cho ba đường tròn (A; 10 cm), (B; 15 cm), (C; 15 cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Đường tròn (A) tiếp xúc với (B) và (C) lần lượt tại C’ và B’. Đường tròn (B) tiếp xúc với (C) tại A’ (Hình 53).

a) Chứng minh AA’ là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C).

b) Tính độ dài đoạn thẳng AA’ và diện tích tam giác AB’C’.

Xem đáp án » 02/08/2024 909

Xem thêm các câu hỏi khác »