Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 0), B(3; 1; 2) và mặt phẳng (α): x + 2y + 3z – 1 = 0.

a) Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa A, B và song song với (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với trục Ox.

a) Ta có: $\overrightarrow {{n_\alpha }}$ = (1; 2; 3), $\overrightarrow {AB}$ = (1; 2; 2).

Do đó, $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&2\end{array}} \right|} \right)$ = (−2; 1; 0).

Vậy phương trình mặt phẳng (β) là:

−2(x – 2) + 1(y + 1) + 0(z – 0) = 0

⇔ −2x + y + 5 = 0 hay 2x – y – 5 = 0.

b) Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = (1; 2; 2), $\overrightarrow i$ = (1; 0; 0) ($\overrightarrow i$ là vectơ chỉ phương của Ox).

Do mặt phẳng (P) chứa A, B và (P) ∥ Ox nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&0\end{array}} \right|} \right)$ = (0; 2; −2) = 2(0; 1; −1).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x – 2) + 1(y + 1) – 1(z – 0) = 0 ⇔ y – z + 1 = 0.